№ 2 (2015)

Относительная эллиптическая теория или, как её назвал в своих работах Б.Ю. Стернин, «проблема Соболева», состоит в том, что в категории гладких пар многообразий (M,X), одно из которых X гладко вложено в другое M, построить фредгольмову эллиптическую теорию и найти формулу индекса для неё. С точки зрения (псевдо)дифференциальных уравнений задача Соболева состоит в том, что рассматривается сравнение Du ≡ f(modX), где D - псевдодифференциальный оператор, а символ « ≡» означает равенство левой и правой части с точностью до распределений сосредоточенных на подмногообразии X. Очевидно, в случае, когда размерность подмногообразия больше единицы, сравнение, о котором говорится выше, не определяет фредгольмов оператор, именно ядро этого сравнения является бесконечномерным. Оказывается, что если добавить к рассматриваемому сравнению ещё некоторые операторы B, определённые на подмногообразии X, связанные некоторым алгебраическим условием (типа коэрцитивности) с оператором D, то полученный оператор (D,B) уже будет фредгольмовым в соответствующих пространствах Соболева. Замечательным фактом при этом является то, что это условие может быть сформулировано инвариантным образом как условие эллиптичности некоторого оператора, индуцированного задачей на подмногообразии X и, таким образом, условия эллиптичности оператора D и оператора (D,B) вместе доставляют нам фредгольмов оператор. Эта теорема вместе с формулой индекса была в своё время доказана Б.Ю. Стерниным. Напомним, что все операторы, участвующие в построении указанной теории, были псевдодифференциальными. В частности, псевдодифференциальным был оператор (D,B), что, между прочим, и позволило дать определение его эллиптичности. Совершенно по другому обстоит дело в ситуации, когда на многообразии M имеется дополнительная структура, например, действие группы Ли. В этом случае оператор (D,B) уже не будет, вообще говоря, псевдодифферециальным оператором и, следовательно, вопрос о его эллиптичности, формально говоря, не может быть даже поставлен. Тем не менее, в нашей работе при определённых условиях мы можем изучить полученный оператор (D,B), дать определение его символа и доказать его фредгольмовость. Более того, мы предъявляем формулу индекса в этой более общей ситуации. Этому и посвящена настоящая работа.

Одной из задач математической теории телетрафика пассивных оптических сетей (PON, Passive Optical Network) с технологией множественного доступа с разделением по времени (TDMA, Time Division Multiple Access) является распределение временного ресурса между оптическими абонентскими узлами так, чтобы работа всей сети осуществлялась оптимально. Для решения данной задачи рассматривается фрагмент пассивной оптической сети, совмещающий в себе технологию мультиплексирования по длине волны (WDM, Wavelength Division Multiplexing) и технологию множественного доступа с разделением по времени. Для данного фрагмента в статье построена модель совместного функционирования оптических абонентских узлов и решается задача распределения ограниченного числа длин волн между конечным числом оптических абонентских узлов. Предложен алгоритм для расчёта вероятности нахождения оптического абонентского узла в пассивном состоянии, то есть в состоянии, когда получение от оптического терминала и передача оптическому терминалу данных приостановлена. В заключение формулируются задачи дальнейших исследований: построение алгоритмов для расчёта вероятностей блокировок заявок в моделях передачи восходящего потока трафика в пассивной оптической сети с мультиплексированием по длине волны и технологией множественного доступа с разделением по времени.

Задачей данной статьи является построение и анализ модели соты беспроводной сети LTE (Long Term Evolution) в виде многолинейной системы массового обслуживания (СМО) с потерями, вызванными нехваткой ресурсов, необходимых для обслуживания заявок. Принятая на обслуживание заявка занимает случайный объем ресурсов нескольких типов с заданными функциями распределения. Случайные векторы, описывающие требования заявок к ресурсам, не зависят от процессов поступления и обслуживания заявок, независимы в совокупности и одинаково распределены. На систему поступает L независимых пуассоновских потоков заявок, а для их обслуживания имеется N идентичных приборов. Длительности обслуживания заявок распределены по экспоненциальному закону. Функционирование СМО описывается полумарковским процессом, который учитывает число находящихся на обслуживании заявок, их типы и объёмы занимаемых ими ресурсов. Получены явные выражения для стационарного распределения полумарковского процесса, а основным результатом статьи является теорема о мультипликативности по числу входящих потоков стационарного распределения объёмов занятых ресурсов. Дальнейшие исследования предполагают проверку гипотезы об инвариантности вида стационарного распределения относительно закона распределения длительности обслуживания, а также разработку численных методов для анализа вероятностно-временных характеристик системы.

Решения уравнения Шрёдингера при комплексных значениях энергии E описывают квазистационарные состояния. Энергетический спектр таких квазистационарных состояний является квазидискретным и состоит из ряда размытых уровней E, ширина которых Γ определяет времена жизни соответствующих состояний. Введение квазистационарных состояний имеет смысл только в том случае, если ширина соответствующих квазидискретных уровней оказывается малой по сравнению с расстояниями между уровнями. В работе проведено исследование решений квазистационарных состояний для квазипотенциального уравнения с кусочно-постоянными потенциалами при различных значениях параметра , входящего в уравнение и параметров потенциала. Проведён сравнительный анализ решений квазипотенциального уравнения при различных значениях c решениями уравнения Шрёдингера. Установлено, что при → 0 решения квазипотенциального уравнения стремятся к решениям уравнения Шрёдингера. С увеличением параметра время жизни квазиуровней для квазипотенциального уравнения увеличивается по сравнению с результатами, полученными для уравнения Шрёдингера, кроме уровня, который близко подходит к краю барьера. Для сравнения приведены волновые функции для уравнения Шрёдингера и квазипотенциального уравнения при фиксированных значениях параметров потенциала.

В работе рассмотрено стационарное уравнение Шрёдингера с действительным решением, зависящим от пространственных координат. Ставится задача получения дифференциального соотношения для квадрата такой волновой функции. Посредством вычленения из тождества собственно уравнения Шрёдингера формулируется дифференциальное уравнение для физически интерпретируемой величины - плотности вероятности (квадрата волновой функции стационарного уравнения Шрёдингера). В качестве примера рассмотрен одномерный случай, допускающий простое аналитическое решение. Показано, что полученное решение является квадратом решения соответствующего линейного дифференциального уравнения, как это и должно было быть по построению нелинейного дифференциального уравнения для плотности вероятности. В последнем разделе работы рассмотрен несколько более общий, не стационарный случай, - потенциал, содержащий в качестве слагаемого компонент, зависящий от времени. Потенциалы такого вида встречаются в нестационарной теории возмущений. Показано, что константа при разделении переменных остаётся действительной, и тем самым для дифференциального уравнения, соответствующего пространственным переменным, рассмотренная схема остаётся аналогичной описанной выше для стационарного уравнения.

Впервые на монодоменных (не двойниковых) кристаллах LiCu 2O 2 измерена анизотропия вдоль главных кристаллических осей DC и AC проводимости и низкочастотная динамика зарядового транспорта в области температур от 4,2 до 295 К и звуковых частот от 25 Гц до 100 кГц. Характер комплексной проводимости отражает сильную автолокализацию носителей заряда, в которой принимает участие при Т > 40 К не только решётка (диэлектрические поляроны), но и спиновая система после АФМ перехода при Т ≤ 24 К (спиновые поляроны). Механизм переноса заряда в основном прыжковый, но его характер зависит от температуры и направления относительно кристаллических осей. При повышении напряжения смещения в недопированных кристаллах комплексная проводимость очень чувствительна к инжекции через омический контакт носителей основного типа в решётку. Анизотропия DC и AC проводимости проявляется по всем главным кристаллическим направлениям. После обработки температурных и частотных зависимостей комплексной проводимости с использованием ряда моделей получены оценки активационных энергий и времён релаксаций для зарядового транспорта. На их основе сделаны выводы об электронной энергетической структуре вблизи уровня Ферми, механизмах зарядового транспорта и его низкочастотной динамики.