Том 31, № 2 (2023)

В работе рассматривается гетерогенная система массового обслуживания с входящим потоком марковского восстановления и неограниченным числом серверов. Время обслуживания запросов на серверах является положительной случайной величиной с экспоненциальным распределением вероятностей. Параметры обслуживания зависят от состояния цепи Маркова в моменты восстановления. Следует отметить, что эти параметры не меняют своих значений до окончания обслуживания. Таким образом, устройства в рассматриваемой системе являются неоднородными (гетерогенными). Объектом исследования становится многомерный случайный процесс - количество серверов каждого типа, обслуживаемых с разной интенсивностью в стационарном режиме. Для исследования применён метод асимптотического анализа при условии эквивалентно долгого времени обслуживания. Метод асимптотического анализа реализуется при построении последовательности асимптотик возрастающего порядка, в которой асимптотика первого порядка определяет асимптотическое среднее значение числа занятых серверов. Асимптотика второго порядка позволяет построить гауссовскую аппроксимацию распределения вероятностей числа занятых серверов в системе.

Вычисление квадратур возникает во многих физических и технических приложениях. В статье предложена замена переменных интегрирования, кардинально повышающая точность формулы средних. Для бесконечно гладких подынтегральных функций закон сходимости становится сверхстепенным. Он существенно быстрее степенного и близок к экспоненциальному. Для подынтегральных функций с ограниченной гладкостью реализуется степенная сходимость с максимально достижимым порядком точности.

Реализован метод спектральной коллокации для решения двухточечных краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка, основанный на представлении решения в виде разложения по полиномам Чебышева. Подход позволяет устойчиво вычислять как спектральное представление решения, так и его поточечное представление на любой необходимой сетке в области определения уравнения и дополнительных условий многоточечной задачи. Для эффективного построения СЛАУ, решение которой дает искомые коэффициенты, активно используются матрицы Чебышева спектрального интегрирования. Предложенные алгоритмы обладают высокой точностью для систем линейных алгебраических уравнений средней размерности. Матрица системы остается хорошо обусловленной и с увеличением количества точек коллокации позволяет находить решения со все возрастающей точностью.

Представлен способ численного моделирования посредством Maple 2018 продольного изгиба однородной консоли с симметричным сечением в режиме пластических деформаций. Получено обыкновенное дифференциальное уравнение для поперечной координаты, учитывающее высшие моменты инерции сечения. В качестве аргумента в нём служил уникальный для каждого места безразмерный наклон консоли \(p=tg \theta\), взаимно однозначно связанный со всеми перемещениями. Диаграммы сжатия реальных материалов (сталь, титан, тефлон, алюминий-тефлон) моделировались в Maple при помощи нелинейной регрессии на экспериментальных и литературных данных с использованием полинома 3-го порядка, обеспечивающего условный предел текучести (\(t\),\(\sigma_f\)). Параметры консоли (длина \(l_0\), площадь сечения \(S\) и минимальный момент инерции \(J_x\)) подбирались так, чтобы изгибающая сила обеспечивала напряжение вблизи предела текучести \(\sigma_f\). Для нахождения ключевой зависимости углового наклона свободного конца \(p_f\) от закритической нагрузки \(F>F_{\text{cr}}\), что необходимо для определения формы прогиба, использовалось равенство проинтегрированной восстановленной элементарной длины её свободному значению \(l_0\). Зависимости \(p_f(F)\) и \(y(z)\), \(z\) — продольная координата, рассчитывались в рамках следующих трёх подходов: пластический характер деформаций согласно полиномиальной (\(n=3\)) диаграмме, приближение касательного модуля \(E_{\text{tang}}\) и приближение идеальной выполнимости закона Гука. Обнаружено, что в реальном случае пластических деформаций критическая нагрузка \(F_{\text{cr}}\) почти вдвое меньше, чем в идеальном случае. При этом наблюдается почти идентичность формы изгиба консоли в рамках этих трёх подходов при одинаковом конечном наклоне \(p_f\), особенно для металлов.