О приближенном решении дифференциальных уравнений, общее решение которых зависит от константы алгебраически

Методы аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) основаны на анализе особенностей, но самый популярный метод для численного решения, а именно метод конечных разностей, не работает вблизи особенностей. Однако Пенлеве дал алгебраический метод для решения в конечном виде дифференциальных уравнений, общие решения которых зависят от константы интегрирования алгебраически. Этот подход, который был представлен как своеобразная теория Галуа, напротив, может быть хорошо увязан с методом конечных разностей. Как известно, обыкновенное дифференциальное уравнение вида y′ = f(x,y), обладающее этом свойством, может быть преобразовано алгебраически заменой к уравнению Риккати. Схема Эйлера yn+1 = yn + f(xn,yn)Δx всегда задаёт (1,k)-соответствие между соседними слоями. В то же время точное решение уравнения Риккати задаёт (1,1)-соответствие между любыми слоями и поэтому мы можем написать схему, задающую (1,1)-соответствие между соседними слоями. В этом случае ангармоническое отношение четырёх точек не меняется от слоя до слоя не только для точного, но также и для приблизительного решения. Таким образом, если у точного решения имеется полюс, то приближенное решение проходит через бесконечность без накопления ошибки. В представленной статье это свойство (1,1)-схем будет проиллюстрировано двумя примерами: с и без решения в элементарных функциях. Таким образом, причина разрушения приближенного решения около полюса спрятана в саму схему Эйлера. В более общем случае, когда точное решение обыкновенного дифференциального уравнения зависит от постоянной интегрирования алгебраически, мы можем написать схему, которая задаёт (l,l)-корреспонденция между соседними слоями. Приближенное решение, найденное на этом пути, проходит через подвижные алгебраические особенности без накопления ошибки.

уравнение Риккати, метод конечных разностей, алгебраические соответствия