Об особенности функции Грина оператора Шрёдингера с потенциалами, сингулярными в начале координат

Исследуется асимптотика при r → 0 функции Грина оператора Шрёдингера − Δ + V (r) с короткодействующим потенциалом V произвольной формы, имеющим особенность в начале координат вида r−ρ с ρ > 0. Под короткодействием потенциала понимается убывание на бесконечности, более быстрое, чем убывание Кулоновского потенциала. Исследование производится при помощи интегрального уравнения Липпманна–Швингера для функции Грина в координатном представлении. Показано, что для описания асимптотики необходимо различить три случая в зависимости от значения параметра потенциала ρ. Если особенность потенциала слабее чем кулоновская, то асимптотика функции Грина имеет стандартное сингулярное поведение, именно особенность вида r−1. В случае особенности потенциала вида r−ρ с 1 ≤ ρ < 2 в асимптотике функции Грина возникает дополнительная сингулярность. В случае ρ = 1 дополнительная логарифмическая сингулярность имеет ту же форму, что и в случае кулоновского потенциала. В случае 1 < ρ < 2 дополнительная сингулярность имеет вид полярной особенности вида r−ρ+1. Во всех перечисленных случаях сингулярные члены асимптотических разложений выражены в явном виде через параметры потенциала V , определяющие его поведение в начале координат. Исследованная проблема имеет ряд интересных приложений в физике, в частности она имеет важное значение в теории потенциалов нулевого радиуса.

теория рассеяния, функция Грина, сингулярные потенциалы, координатные асимптотики