Поиск семейств периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода нормальной формы. Часть 1

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

В настоящей работе кратко обсуждается применение метода резонансной нормальной формы к поиску семейств периодических решений автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, разрешённых относительно производных и с полиномиальными нелинейностями в правых частях. При использовании сформулированного проф. А.Д. Брюно достаточном условии сходимости нормализующего преобразования, находятся локальные семейства периодических решений систем таких ОДУ в окрестностях стационарных точек. При этом в едином подходе исследуются как гамильтоновы, так и не гамильтоновы системы. По соображениям объёма статья разбита на две части. В первой части описан алгоритм реализации метода нормальных форм. Отдельно кратко описаны созданные авторами программные пакеты. На языке RLISP разработан пакет для работы в системе REDUCE, а для работы с системой MATHEMATICA написан пакет на внешнем языке этой системы. Пакеты позволяют, в частности, получать формулы, описывающие локальные (содержащие неподвижную точку) семейства периодических решений. Результаты вычислений представляются в виде отрезков рядов Фурье заданной длины с частотой и коэффициентами, вычисленными в виде отрезков степенных рядов по параметру. Такое представление соответствует частному случаю отрезков рядов Пуассона. Важно, что при помощи единого алгоритма возможно изучать как двумерные, так и системы высоких порядков. Вторая часть статьи посвящена системам четвёртого порядка. Сравнение табуляции полученных формул с численными решениями соответствующих уравнений показывает хорошее количественное согласие. Описываемый подход может быть использован при моделировании физических и биологических систем.

Об авторах

Виктор Фёдорович Еднерал

НИИ ядерной физики имени Д.В. Скобельцина Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова (НИИЯФ МГУ)

Email: victor.edneral@yandex.ru
Кафедра прикладной информатики и теории вероятностей Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д.6, Москва, Россия, 117198

Ольга Дмитриевна Тимофеевская

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Email: olgamsu1@yandex.ru
Кафедра физики высоких энергий и квантовой теории поля Физический факультет

Список литературы

  2. Arnold V.I., Anosov D.V. Dynamical Systems I (Encyclopaedia of Mathematical Sciences). - New York: Springer-Verlag, 1987.
  3. Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear Oscillations. Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields. - New York: Springer-Verlag, 1986.
  4. Deprit A. Canonical Transformation Depending on a Small Parameter // Celestial Mechanics. - 1969. - Vol. 1, No 1. - Pp. 12-30.
  5. Hori G.I. Theory of General Perturbations with Unspecified Canonical Variables // Publications of the Astronomical Society of Japan. - 1966. - Vol. 18, No 4. - Pp. 287-296.
  6. Брюно А.Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений. I // Труды московского математического общества. - 1971. - Т. 25. - С. 119-262.
  7. Брюно А.Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений. II // Труды московского математического общества. - 1972. - Т. 26. - С. 199-239.
  8. Брюно А.Д. Ограниченная задача трех тел. Плоские периодические орбиты. - Москва: Наука, 1990.
  9. Bruno A.D. Normal Forms // Mathematics and Computers in Simulation. - 1998. - Vol. 45. - Pp. 413-427.
  10. Брюно А. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. - Москва: Наука-Физматлит, 1998.
  11. Bibikov Y.N. Local Theory of Nonlinear Analytic Ordinary Differential Equations. - New York: Springer-Verlag, Lect. Note Math., 1979. - Vol. 702.
  12. Mersman W.A. A New Algorithm for Lie Transformation // Celestial Mechanics. - 1970. - Vol. 3. - Pp. 81-89.
  13. Shevchenko I.I., Sokolsky A.G. Algorithms for Normalization of Hamiltonian Systems by Means of Computer Algebra // Computer Physics Communications. - 1993. - Vol. 77. - Pp. 11-18.
  14. Godziewski K., Maciejewski A.J. System for Normalization of a Hamiltonian Function Based on Lie Series // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. - 1990. - Vol. 49. - Pp. 1-10.
  15. Ito H. Convergence of Birkhoff Normal Forms for Integrable Systems // Commentarii Mathematici Helvetici. - 1989. - Vol. 64. - Pp. 412-461.
  16. Ito H. Integrability of Hamiltonian Systems and Birkhoff Normal Forms in the Simple Resonance Case // Mathematische Annalen. - 1992. - Vol. 292. - Pp. 411-444.
  17. Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. - Москва: Наука, 1979.
  18. Walcher S. On Differential Equations in Normal Form // Mathematische Annalen. - 1991. - Vol. 291. - Pp. 293-314.
  19. Walcher S. On Transformations into Normal Form // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 1993. - Vol. 180. - Pp. 617-632.
  20. Vallier L. An Algorithm for the Computation of Normal Forms and Invariant Manifolds // Proceedings of the International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, July 1993, Kiev, Ukraine. - New York: ACM Press, 1993. - Pp. 225-233.
  21. Martin C. F., Zhou Y. Carleman Linearization of Linear Systems with Polynomial Output: Techrep 9 / Institut Mittag-Leffler. - Sweden, 2002-2003.
  22. Verhulst F. Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems. - Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag, 1989. - 277 p.
  23. Bruno A. D. Bifurcation of the Periodic Solutions in the Case of a Multiple Pair of Imaginary Eigenvalues // Selecta Mathematica Formerly Sovietica. - 1993. - Vol. 12. - Pp. 1-12.
  24. Marsden J. E., McCracken M. The Hopf Bifurcation and its Applications. - New York: Springer Applied Mathematics Series, 1976. - Vol. 19, 408 p.
  25. Hassard B., Kazarinoff N. D., Wan Y. H. Theory and Applications of Hopf Bifurcation. - Cambridge: Cambridge University Press, 1981. - 280 p.
  26. Bruno A. D., Edneral V. F. On Possibility of Additional Solutions of the Degenerate System Near Double Degeneration at the Special Value of the Parameter // Proceedings of the 15th International Workshop Computer Algebra in Scientific Computing. September 9-13, 2013. Berlin, Germany. - Vol. 8136. - Cham Heidelberg: Springer-Verlag, series: LNCS, 2013. - Pp. 75-87.
  27. Edneral V. F., Khanin R. Investigation of the Double Pendulum System by the Normal Form Method in MATHEMATICA // Programming and Computer Software. - 2004. - Vol. 30, No 2. - Pp. 115-117.
  28. Edneral V. F., Khrustalev O. A. Propagation of Electromagnetic Waves in Thin-Film Structures with Smoothly Irregular Sections // Proceedings of International Conference on Computer Algebra and its Application in Theoretical Physics. September 1985. Dubna, USSR. - Dubna: JINR, 1985. - Pp. 219-224.
  29. Edneral V. F., Khrustalev O. A. Program for Recasting ODE Systems in Normal Form // Sov. J. Programmirovanie. - 1992. - No 5. - Pp. 73-80.
  30. Hearn A. C. REDUCE. User’s Manual. - Berkeley: Rand Publication, CP87, 1987.
  31. Edneral V. F., Khanin R. Multivariate Power Series and Normal Form Calculation in Mathematica // Proceedings of the Fifth Workshop on Computer Algebra in Scientific Computing. September, 2002, Big Yalta, Ukraine. - Munich: Tech. Univ. M¨unchen, 2002. - Pp. 63-70.
  32. Edneral V. F., Khanin R. Application of the Resonant Normal Form to High Order Nonlinear ODEs using MATHEMATICA // Nuclear Instr. and Methods in Physics Research, A. - 2003. - Vol. 502, No 2-3. - Pp. 643-645.
  33. Edneral V. F. On Algorithm of the Normal Form Building // Proceedings of the 10th International Workshop on Computer Algebra in Scientific Computing. September 16-20, 2007. Bonn, Germany. - Vol. 4770. - Munich: Springer-Verlag, series LNCS, 2007. - Pp. 134-142.
  34. Andersen G. M., Geer J. F. Power Series Expansions for the Frequency and Period of the Limit Cycle of the Van der Pol Equation // SIAM Journal on Applied Mathematics. - 1983. - Vol. 42. - Pp. 678-693.
  35. Edneral V. F. Computer Evaluation of Cyclicity in Planar Cubic System // Proceedings of the ISSAC’97. July, 1997. Hawaii, USA. - New York: ACM Press, 1997. - Pp. 305-309.

© Еднерал В.Ф., Тимофеевская О.Д., 2014

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах