О суммировании рядов Фурье в конечном виде

Задача о суммировании рядов Фурье в конечном виде сформулирована в слабом смысле, что позволяет единообразно рассматривать эту задачу как для сходящихся в классическом смысле рядов, так и для расходящихся. Для рядов c полиномиальными коэффициентами Фурье $a_n$, $b_n\in \mathbb{R}[n]$ доказано, что сумма ряда Фурье может быть представлена как линейная комбинация $1$, $\delta (x)$, $\cot \frac{x}{2}$ и их производных. Показано, что это представление может быть найдено за конечное число действий. Для рядов c рациональными коэффициентами Фурье $a_n$, $b_n\in \mathbb{R}(n)$ показано, что сумма такого ряда всегда является решением линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, правая часть которого является линейной комбинацией $1$, $\delta (x)$, $\cot \frac{x}{2}$ и их производных. Тем самым вопрос о суммировании рядов Фурье с рациональными коэффициентами сведен к классическому вопросу теории интегрирования в элементарных функциях.