Применение метода коллокации Чебышева для решения граничных задач теплопроводности

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Для одномерных неоднородных (по пространственной переменной) линейных параболических уравнений используется комбинированный подход, разбивающий исходную задачу на две подзадачи. Первая из них - неоднородная одномерная задача Пуассона с граничными условиями Дирихле-Робена, поиск решения которой основан на методе чебышевской коллокации. Метод разработан на основе ранее опубликованных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых решение ищется в виде разложения по полиномам Чебышева 1-го рода на сетках Гаусса-Лобатто, что позволяет использовать дискретную ортогональность полиномов. Такой подход оказывается весьма экономичным и стабильным по сравнению с традиционными методами, приводящими к решению часто плохо определенных систем линейных алгебраических уравнений. В описываемом подходе удачное применение матриц интегрирования позволяет вообще избавиться от необходимости работы с плохо обусловленными матрицами. Вторая, однородная задача теплопроводности решается методом разделения переменных. При этом отыскание коэффициентов разложения искомого решения по полному набору решений соответствующей задачи Штурма-Лиувилля сводится к вычислению интегралов от известных функций. Простая методика построения чебышевских интерполянтов подынтегральных функций позволяет вычислять интегралы суммированием интерполяционных коэффициентов.

Об авторах

К. П. Ловецкий

Российский университет дружбы народов

Email: lovetskiy-kp@rudn.ru
ORCID iD: 0000-0002-3645-1060

Candidate of Sciences in Physics and Mathematics, Associate Professor of Department of Computational Mathematics and Artificial Intelligence

ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Российская Федерация

С. В. Сергеев

Российский университет дружбы народов

Email: 1142220124@rudn.ru
ORCID iD: 0009-0004-1159-4745

PhD student of Department of Computational Mathematics and Artificial Intelligence

ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Российская Федерация

Д. С. Кулябов

Российский университет дружбы народов; Объединённый институт ядерных исследований

Email: kulyabov-ds@rudn.ru
ORCID iD: 0000-0002-0877-7063

Professor, Doctor of Sciences in Physics and Mathematics, Professor at the Department of Probability Theory and Cyber Security of Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University); Senior Researcher of Laboratory of Information Technologies, Joint Institute for Nuclear Research

ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Российская Федерация; ул. Жолио-Кюри, д. 6, Дубна, Московская область, 141980, Российская Федерация

Л. А. Севастьянов

Российский университет дружбы народов; Объединённый институт ядерных исследований

Автор, ответственный за переписку.
Email: sevastianov-la@rudn.ru
ORCID iD: 0000-0002-1856-4643

Professor, Doctor of Sciences in Physics and Mathematics, Professor at the Department of Computational Mathematics and Artificial Intelligence of Peoples’ Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University), Leading Researcher of Bogoliubov Laboratory of Theoretical Physics, Joint Institute for Nuclear Research

ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Российская Федерация; ул. Жолио-Кюри, д. 6, Дубна, Московская область, 141980, Российская Федерация

Список литературы

  1. Boyd, J. P. Chebyshev and Fourier spectral methods second (Dover Books on Mathematics, 2013).
  2. Mason, J. C. & Handscomb, D. C. Chebyshev polynomials doi: 10.1201/9781420036114 (Chapman and Hall/CRC Press, New York, 2002).
  3. Greengard, L. Spectral integration and two-point boundary value problems. SIAM Journal on Numerical Analysis 28, 1071-1080. doi: 10.1137/0728057 (1991).
  4. Shen, J., Tang, T. & L.-L., W. Spectral Methods doi: 10.1007/978-3-540-71041-7 (Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg, 2011).
  5. Fornberg, B. A practical guide to pseudospectral methods (Cambridge University Press, New York, 1996).
  6. Sevastianov, L. A., Lovetskiy, K. P. & Kulyabov, D. S. Multistage collocation pseudo-spectral method for the solution of the first order linear ODE in 2022 VIII International Conference on Information Technology and Nanotechnology (ITNT) (2022), 1-6. doi: 10.1109/ITNT55410.2022.9848731.
  7. Sevastianov, L. A., Lovetskiy, K. P. & Kulyabov, D. S. A new approach to the formation of systems of linear algebraic equations for solving ordinary differential equations by the collocation method. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics 23. in Russian, 36-47 doi: 10.18500/1816-9791-2023-23-1-36-47 (2023).
  8. Lovetskiy, K. P., Kulyabov, D. S. & Hissein, W. Multistage pseudo-spectral method (method of collocations) for the approximate solution of an ordinary differential equation of the first order. Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science 30, 127-138. doi: 10.22363/2658-4670-2022-30-2-127-138 (2022).
  9. Sevastianov, L. A., Lovetskiy, K. P. & Kulyabov, D. S. Numerical integrating of highly oscillating functions: effective stable algorithms in case of linear phase 2021. doi: 10.48550/arXiv.2104. 03653.
  10. Lovetskiy, K. P., Kulyabov, D. S., Sevastianov, L. A. & Sergeev, S. V. Chebyshev collocation method for solving second order ODEs using integration matrices. Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science 31, 150-163. doi: 10.22363/2658-4670-2023-31- 2-150-163 (2023).
  11. Lienhard, J. H. I. & Lienhard, J. H. V. A Heat Transfer Textbook Fifth Edition 2020.
  12. Tikhonov, A. N. & Samarskii, A. A. Equations of Mathematical Physics [Uravneniya matematicheskoy fiziki] in Russian (Nauka, M., 2004).
  13. Sevastianov, L. A., Lovetskiy, K. P. & Kulyabov, D. S. A new approach to the formation of systems of linear algebraic equations for solving ordinary differential equations by the collocation method. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics 23, 36-47. doi:10. 18500/1816-9791-2023-23-1-36-47 (2023).
  14. Stewart, G. W. Afternotes on Numerical Analysis (Society for Industrial and Applied Mathematics, USA, 1996).
  15. Amiraslani, A., Corless, R. M. & Gunasingam, M. Differentiation matrices for univariate polynomials. Numerical Algorithms 83, 1-31. doi: 10.1007/s11075-019-00668-z (2020).
  16. Rezaei, F., Hadizadeh, M., Corless, R. & Amiraslani, A. Structural analysis of matrix integration operators in polynomial bases. Banach Journal of Mathematical Analysis 16, 5. doi:10.1007/ s43037-021-00156-4 (2022).
  17. Boyce, W. E. & DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems 9th Edition (Wiley, New York, 2009).
  18. Planitz, M. et al. Numerical recipes: the art of scientific computing 3rd Edition (Cambridge University Press, New York, 2007).

© Ловецкий К.П., Сергеев С.В., Кулябов Д.С., Севастьянов Л.А., 2024

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах