Компьютерное исследование детерминированных и стохастических моделей «два конкурента-два ареала миграции» с учетом вариативности параметров

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Анализ траекторной динамики и решение задач оптимизации с применением компьютерных методов относится к актуальным направлениям исследования динамических популяционномиграционных моделей. В настоящей работе изучаются четырехмерные динамические модели, описывающие процессы конкуренции и миграции в экосистемах. Во-первых, мы рассматриваем модификацию модели «два конкурента - два ареала миграции», в которой учитывается равномерная внутривидовая и межвидовая конкуренция в двух популяциях, а также неравномерная двунаправленная миграция обеих популяций. Во-вторых, мы рассматриваем модификацию модели «два конкурента - два ареала миграции», в которой внутривидовая конкуренция является равномерной, а межвидовая конкуренция и двунаправленная миграция являются неравномерными. Для указанных двух типов моделейисследованиепроводитсясучетомвариативностипараметров.Решенызадачипоискамодельных параметров на основе реализации двух критериев оптимальности. Первый критерий оптимальности связан с выполнением такого условия сосуществования популяций, которое в математической форме представляет собой максимизацию интеграла от произведения функций, характеризующих плотности популяций. Второй критерий оптимальности включает в себя проверку предположения о существовании такого четырехмерного положительного вектора, который будет являться состоянием равновесия. Результатом работы алгоритмов, разработанных на основе первого и второго критериев оптимальности с применением метода дифференциальной эволюции, являются оптимальные наборы параметров изучаемых популяционно-миграционных моделей. Полученные наборы параметров используются для нахождения положительных состояний равновесия и для анализа траекторной динамики. С помощью метода построения самосогласованных одношаговых моделей и автоматизированной процедуры стохастизации выполнен переход к стохастическому случаю. Структурное описание и возможность анализа двух типов популяционно-миграционных стохастических моделей обеспечиваются получением уравнений Фоккера-Планка и уравнений в форме Ланжевена с соответствующими коэффициентами. Использованы алгоритмы генерирования траекторий винеровского процесса и многоточечных распределений и модификации метода Рунге-Кутты. Проведена серия вычислительных экспериментов с применением специализированного программного комплекса, возможности которого позволяют выполнять построение и анализ динамических моделей высокой размерности с учетом оценки влияния стохастики. Исследована траекторная динамика двух типов популяционно-миграционных моделей и выполнен сравнительный анализ результатов как в детерминированном, так и в стохастическом случае. Результаты могут найти применение в задачах моделирования и оптимизации динамических моделей естествознания.

Полный текст

1. Introduction The study of mathematical models of population systems began to develop actively in the twenties of the last century, thanks to the works of A. Lotka [1] and V. Volterra [2]. Currently, this direction includes the wide class study of models taking into account various interactions between populations © Vasilyeva I. I., Demidova A. V., Druzhinina O. V., Masina O. N., 2024 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode (See, for example, [3-6]). Significant progress in the study is achieved due to the analysis of the dynamic stability models of ecological systems using the theory of differential equations, numerical methods and optimization methods [3, 4, 7-9]. A four-dimensional model of two competing species with migration between two ranges, taking into account the asymmetry coefficient, is considered in [10]. It is shown that the choice of the migration area is carried out depending on the value of this coefficient. The coefficient of asymmetry affects which of the habitats species migrate to first. Two-species Lotka-Volterra competition patch model is studied in [11]. It’s shown that in the long time, either the competition exclusion holds that one species becomes extinct, or the two species reach a coexistence equilibrium, and the outcome of the competition is determined by the strength of the inter-specific competition and the dispersal rates. The transition to the non-deterministic case based on the design stochastic self-consistent models (DSSM) method allows us to identify new qualitative properties of models and carry out a comparative analysis [12-16] and in the other works. For various types of population models, the DSSM method is used in [12, 17, 18]. In [18], a formalized description of the four-dimensional model “two competitors-two migration areas” and its modifications are proposed, taking into account the case when population growth coefficients are different (non-uniform reproduction of species). Using the implementation of the evolutionary algorithm, a set of parameters is obtained that ensure the coexistence of populations in the conditions of competition between two species in the general area, taking into account the migration of these species. Stochastization of the model “two competitors- two migration areas” (under conditions of non-uniform species reproduction) is carried out on the basis of the method of constructing self-consistent stochastic models. The dynamics of trajectories for deterministic and stochastic cases is studied, a comparative analysis is performed. This paper is a continuation of [18] and contains the construction and analysis of such modifications of the model “two competitors-two migration areas”, which allows us to study the influence of non-uniform migration flows and the influence of non-uniform interspecific competition on the trajectory dynamics both in the deterministic case and in the stochastic case. In section 2 of this paper, we consider the construction of two modifications of the model “two competitors-two migration areas” with bidirectional non-uniform migration (to two refuges), taking into account the uniformity and non-uniformness of the interspecific competition coefficients. In section 3, the search for model parameters is carried out using an evolutionary algorithm taking into account different optimality criteria. In section 4, a study of the obtained deterministic fourdimensional models is carried out, two-dimensional and three-dimensional projections of phase portraits are constructed. In section 5, the transition to stochastic models “two competitors-two migration areas” is made on the basis of the constructing self-consistent stochastic models method, the dynamics of trajectories in the stochastic case is studied. The results of computer experiments are presented and the interpretation of these results is given taking into account the comparison of stochastic and deterministic models. The developed in Python [19] software package [20] is used to study the models. Section 7 discusses the results. 2. Description of the model modifications “two competitors-two migration areas” taking into account non-uniform migration Ref. [18] describes a general four-dimensional deterministic model, which takes into account the influence of interspecific and intraspecific competition in two populations with bidirectional migration of both populations, and the non-uniform growth of population reproduction. We describe further such a model “two competitors-two migration areas”, for which the growth of population reproduction, interspecific and intraspecific competition are uniform, and migration is non-uniform. The specified model is given by a system of equations of the form
×

Об авторах

И. И. Васильева

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина

Email: irinavsl@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-4120-2595

Assistant professor of Department of Mathematical Modeling, Computer Technologies and Information Security

ул. Коммунаров, д. 28, Елец, 399770, Российская Федерация

А. В. Демидова

Российский университет дружбы народов

Email: demidova-av@rudn.ru
ORCID iD: 0000-0003-1000-9650

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Assistant professor of Department of Probability Theory and Cyber Security

ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Российская Федерация

О. В. Дружинина

Федеральный исследовательский центр «Информатика и управление» Российской академии наук

Email: ovdruzh@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-9242-9730

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Chief Researche

ул. Вавилова, д. 44, корп. 2, Москва, 119333, Российская Федерация

О. Н. Масина

Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина

Автор, ответственный за переписку.
Email: olga121@inbox.ru
ORCID iD: 0000-0002-0934-7217

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of Department of Mathematical Modeling, Computer Technologies and Information Security

ул. Коммунаров, д. 28, Елец, 399770, Российская Федерация

Список литературы

  1. Lotka, A. J. Elements of Physical Biology (Williams and Wilkins Company, Baltimore, MD, USA, 1925).
  2. Volterra, V. Fluctuations in the abundance of a species considered mathematically. Nature, 558-560. doi: 10.1038/118558a0 (1926).
  3. Bazykin, A. D. Nonlinear Dynamics of Interacting Populations Russian. [in Russian] (Institute of Computer Research, Moscow-Izhevsk, 2003).
  4. Pykh, Y. A. Generalized Lotka-Volterra Systems: Theory and Applications Russian. [in Russian] (SPbGIPSR, St. Petersburg, 2017).
  5. Li, A. Mathematical Modelling of Ecological Systems in Patchy Environments in Electronic Thesis and Dissertation Repository (2021), 8059.
  6. Hsu, S. B., Ruan, S. & Yang, T. H. Analysis of three species Lotka-Volterra food web models with omnivory. Journal of Mathematical Analysis and Applications 426, 659-687. doi: 10.1016/j.jmaa.2015.01.035 (2015).
  7. Shestakov, A. A. Generalized Direct Method for Systems with Distributed Parameters Russian. [in Russian] (URSS, Moscow, 2007).
  8. Moskalenko, A. I. Methods of Nonlinear Mappings in Optimal Control. Theory and Applications to Models of Natural Systems Russian. [in Russian] (Nauka, Novosibirsk, 1983).
  9. Zhou, Q. Modelling Walleye Population and Its Cannibalism Effect in Electronic Thesis and Dissertation Repository (2017), 4809.
  10. Sadykov, A. & Farnsworth, K. D. Model of two competing populations in two habitats with migration: Application to optimal marine protected area size. Theoretical Population Biology 142, 114-122. doi: 10.1016/j.tpb.2021.10.002 (2021).
  11. Chen, S., Shi, J., Shuai, Z. & Wu, Y. Global dynamics of a Lotka-Volterra competition patch model. Nonlinearity 35, 817. doi: 10.1088/1361-6544/ac3c2e (2021).
  12. Demidova, A. V. Equations of Population Dynamics in the Form ofStochastic Differential Equations. Russian. RUDN Journal of Mathematics, Information Sciences and Physics 1. [in Russian], 67-76 (2013).
  13. Gevorkyan, M. N., Velieva, T. R., Korolkova, A. V., Kulyabov, D. S. & Sevastyanov, L. A. Stochastic Runge-Kutta Software Package for Stochastic Differential Equations in Dependability Engineering and Complex Systems (eds Zamojski, W., Mazurkiewicz, J., Sugier, J., Walkowiak, T. & Kacprzyk, J.) (Springer International Publishing, Cham, 2016), 169-179. doi: 10.1007/978-3-319-39639-2_15.
  14. Korolkova, A. & Kulyabov, D. One-step Stochastization Methods for Open Systems. EPJ Web of Conferences 226, 02014. doi: 10.1051/epjconf/202022602014 (2020).
  15. Gardiner, C. W. Handbook of Stochastic Methods: For Physics, Chemistry and the Natural Sciences (Springer, Heidelberg, 1985).
  16. Van Kampen, N. G. Stochastic Processes in Physics and Chemistry (Elsevier, Amsterdam, 1992).
  17. Demidova, A. V., Druzhinina, O. V., Masina, O. N. & Petrov, A. A. Synthesis and Computer Study of Population Dynamics Controlled Models Using Methods of Numerical Optimization, Stochastization and Machine Learning. Mathematics 9, 3303. doi: 10.3390/math9243303 (2021).
  18. Vasilyeva, I. I., Demidova, A.V., Druzhinina, O.V. & Masina, O. N. Construction, stochastization and computer study of dynamic population models “two competitors - two migration areas”. Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science 31, 27-45. doi: 10.22363/2658-4670-2023-31-1-27-45 (2023).
  19. Sullivan, E. Numerical Methods - An Inquiry-Based Approach with Python 2021.
  20. Demidova, A. V., Druzhinina, O. V., Masina, O. N. & Petrov, A. A. Development of Algorithms and Software for Modeling Controlled Dynamic Systems Using Symbolic Computations and Stochastic Methods. Programming and Computer Software 49, 108-121. doi: 10.1134/S036176882302007X (2023).
  21. Storn, R. & Price, K. Differential Evolution: A Simple and Efficient Adaptive Scheme for Global Optimization Over Continuous Spaces. Journal of Global Optimization 23 (1995).
  22. Das, S. & Suganthan, P. N. Differential Evolution: A Survey of the State-of-the-Art. IEEE Transactions on Evolutionary Computation 15, 4-31. doi: 10.1109/TEVC.2010.2059031 (2011).
  23. Eltaeib, T. & Mahmood, A. Differential Evolution: A Survey and Analysis. Applied Sciences 8, 1945. doi: 10.3390/app8101945 (2018).
  24. Petrov, A. A., Druzhinina, O. V., Masina, O. N. & Vasilyeva, I. I. The construction and analysis of four-dimensional models of population dynamics taking into account migration flows. Russian. Uchenye zapiski UlGU. Series: Mathematics and Information Technology”. [in Russian], 43-55 (2022).
  25. Vucetic, D. Fuzzy Differential Evolution Algorithm in Electronic Thesis and Dissertation Repository (2012), 503.
  26. Karpenko, A. P. Modern Search Engine Optimization Algorithms. Algorithms Inspired by Nature 2nd ed. Russian. [in Russian] (N.E. Bauman MSTU, Moscow, 2016).
  27. Simon, D. Evolutionary Optimization Algorithms. Biologically-Inspired and Population-Based Approaches to Computer Intelligence (John Wiley & Sons, Inc., New York, 2013).

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Васильева И.И., Демидова А.В., Дружинина О.В., Масина О.Н., 2024

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.