Численное интегрирование задач Коши с несингулярными особыми точками

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Решения многих прикладных задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений имеют один или несколько кратных нулей на отрезке интегрирования. Примерами являются уравнения специальных функций математической физики. Наличие кратных нулей существенно затрудняет численный расчёт, поскольку такие задачи являются плохо обусловленными. Из-за ошибок округления в решении может не остаться ни одного верного знака. Поэтому кратные нули следует отнести к особым точкам ОДУ. В данной работе предложена локальная замена искомой функции, которая преобразует кратный нуль решения в простой. Расчёт последнего не представляет трудностей. Это позволяет кардинально повысить точность и надёжность расчёта. Проведены иллюстративные примеры, которые подтверждают преимущества предлагаемого метода.

Об авторах

А. А. Белов

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова; Российский университет дружбы народов

Email: aa.belov@physics.msu.ru
ORCID iD: 0000-0002-0918-9263

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Assistant professor of Department of Computational Mathematics and Artificial Intelligence of Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University); Researcher of Faculty of Physics, M.V. Lomonosov Moscow State University

Ленинские горы, д. 1, стр. 2, Москва, 119991, Россия; ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Россия

И. В. Горбов

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Автор, ответственный за переписку.
Email: garri-g@bk.ru
ORCID iD: 0009-0005-5335-6179

Master’s degree student of Faculty of Physics

Ленинские горы, д. 1, стр. 2, Москва, 119991, Россия

Список литературы

  1. E. Janke, F. Emde, and F. Losch, Tafeln Horer Functionen. Stutgart: B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, 1960.
  2. NIST Digital Library of Mathematical Functions, https://dlmf.nist.gov.
  3. M. K. Kerimov, “Studies on the zeros of Bessel functions and methods for their computation,” Computational Mathematics and Mathematical Physics, vol. 54, pp. 1337-1388, 2014. doi: 10.1134/S0965542514090073.
  4. N. N. Kalitkin and P. V. Koryakin, Numerical methods. Vol.2: Methods of mathematical physics [Chislennye Metody. T.2: Metody matematicheskoi fiziki]. Moscow: Akademiya, 2013, in Russian.
  5. A. A. Belov, “Numerical detection and study of singularities in solutions of differential equations,” Doklady Mathematics, vol. 93, no. 3, pp. 334-338, 2016. doi: 10.1134/S1064562416020010.
  6. A. A. Belov, “Numerical blow-up diagnostics for differential equation solutions,” Computational Mathematics and Mathematical Physics, vol. 57, no. 1, pp. 122-132, 2017. doi: 10.1134/S0965542517010031.
  7. A. A. Belov and N. N. Kalitkin, “Numerical integration of a Cauchy problem whose solution has integer-order poles on the real axis,” Differential equations, vol. 58, pp. 810-833, 2022. doi: 10.1134/S0012266122060088.
  8. V. I. Shalashilin and E. B. Kuznetsov, The method of continuation by parameter and the best parametrization [Metod prodolzheniia po parametru i nailuchshaia parametrizatsiia]. Moscow: Editorial URSS, 1999, in Russian.
  9. E. B. Kuznetsov and S. S. Leonov, “Parametrization of the Cauchy problem for systems of ordinary differential equations with limiting singular points,” Computational Mathematics and Mathematical Physics, vol. 57, pp. 931-952, 2017. doi: 10.1134/S0965542517060094.
  10. E. A. Alshina, E. M. Zaks, and N. N. Kalitkin, “Optimal parameters of explicit Runge-Kutta schemes of low orders [Optimalnye parametry iavnykh skhem Runge-Kutty nizkikh poriadkov],” Math. modeling, vol. 18, no. 2, pp. 61-71, 2006, in Russian.
  11. H. H. Rosenbrock, “Some general implicit processes for the numerical solution of differential equations,” The Computer Journal, vol. 5, no. 4, pp. 329-330, 1963. doi: 10.1093/comjnl/5.4.329.
  12. N. N. Kalitkin and I. P. Poshivaylo, “Inverse Ls-stable Runge-Kutta schemes,” Doklady Mathematics, vol. 85, pp. 139-143, 2012. DOI: 10. 1134/S1064562412010103.
  13. N. N. Kalitkin and I. P. Poshivaylo, “Computations with inverse Runge-Kutta schemes,” Mathematical Models and Computer Simulations, vol. 6, pp. 272-285, 2014. doi: 10.1134/S2070048214030077.
  14. E. Hairer and G. Wanner, Solving ordinary differential equations. II. Stiff and differential-algebraic problems. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1996.
  15. L. F. Shampine and M. W. Reichelt, “The Matlab ODE suite,” SIAM Journal on Scientific Computing, vol. 18, no. 1, pp. 1-22, 1997. doi: 10.1137/S1064827594276424.

© Белов А.А., Горбов И.В., 2023

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах