Консервативные конечно-разностные схемы для динамических систем

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

В статье представлена реализация одного из подходов к интегрированию динамических систем, при котором сохраняются алгебраические интегралы в оригинальной системе fdm for sage. Этот подход, восходящий к статье дель Буоно и Мастросерио, позволяет на основе двух любых явных разностных схем, в том числе любых двух явных схем Рунге-Кутты, сконструировать новый численный алгоритм интегрирования динамической системы, сохраняющий заданный интеграл. Этот подход реализован и протестирован в оригинальной системе fdm for sage. Обсуждены детали и трудности реализации. Для тестирования в качестве двух схем взяты две схемы Рунге-Кутты одного порядка, но с разными таблицами Бутчера, что не приводит к усложнению метода благодаря распараллеливанию. Рассмотрено два примера - линейный осциллятор и осциллятор Якоби, имеющий два квадратичных интеграла. На втором примере показано, что сохранение одного интеграла движения не приводит к сохранению другого. Проделанные эксперименты подтверждают, что данный подход может быть использован и при нестандартном выборе исходных схем. Более того, этот метод позволяет предложить практическое применение хорошо известной неоднозначности в определении таблиц Бутчера.

Полный текст

1. Introduction Many dynamical systems have algebraic integrals of motion [1], but standard numerical methods do not allow preserving these integrals exactly on the approximate solution [2]. This means that the approximate solution satisfies such fundamental laws of nature as the law of conservation of energy also approximately, and, in view of the importance of this law itself, this circumstance is always striking. Consider the dynamical system
×

Об авторах

Юй Ин

Университет Кайли

Автор, ответственный за переписку.
Email: 45384377@qq.com
ORCID iD: 0000-0002-4105-2566

Assistant Professor of Department of Algebra and Geometry

3, Кайюань Роуд, Кайли, 556011, Китай

Чжэнь Лу

Университет Кайли

Email: 157739594@qq.com
ORCID iD: 0000-0002-7526-9026

Associate Professor, Department of Fine art

3, Кайюань Роуд, Кайли, 556011, Китай

Список литературы

  1. A. Goriely, Integrability and Nonintegrability of Dynamical Systems. Singapore; River Edge, NJ: World Scientific, 2001.
  2. E. Hairer, G. Wanner, and S. P. Nørsett, Solving Ordinary Differential Equations I, Nonstiff Problems, 3rd ed. Springer, 2008. doi: 10.1007/978-3-540-78862-1.
  3. V. V. Golubev, Vorlesungen über Differentialgleichungen im Komplexen. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1958.
  4. D. Greenspan. “Completely Conservative and Covariant Numerical Methodology for N-Body Problems With Distance-Dependent Potentials. Technical Report no. 285.” (1992), [Online]. Available: http://hdl.handle.net/10106/2267.
  5. D. Greenspan, “Completely conservative, covariant numerical methodology,” Computers & Mathematics with Applications, vol. 29, no. 4, pp. 37- 43, 1995. doi: 10.1016/0898-1221(94)00236-E.
  6. D. Greenspan, “Completely conservative, covariant numerical solution of systems of ordinary differential equations with applications,” Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano, vol. 65, pp. 63-87, 1995. doi: 10.1007/BF02925253.
  7. D. Greenspan, N-Body Problems and Models. World Scientific, 2004.
  8. Y. Ying, A. Baddour, V. P. Gerdt, M. Malykh, and L. Sevastianov, “On the quadratization of the integrals for the many-body problem,” Mathematics, vol. 9, no. 24, 2021. doi: 10.3390/math9243208.
  9. A. Baddour and M. Malykh, “On difference schemes for the many-body problem preserving all algebraic integrals,” Phys. Part. Nuclei Lett., vol. 19, pp. 77-80, 2022. doi: 10.1134/S1547477122010022.
  10. N. Del Buono and C. Mastroserio, “Explicit methods based on a class of four stage fourth order Runge-Kutta methods for preserving quadratic laws,” Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 140, pp. 231-243, 2002.
  11. M. Calvo, D. Hernández-Abreu, J. I. Montijano, and L. Rández, “On the preservation of invariants by explicit Runge-Kutta methods,” SIAM Journal on Scientific Computing, vol. 28, no. 3, pp. 868-885, 2006.
  12. Y. Ying, “The symbolic problems associated with Runge-Kutta methods and their solving in Sage,” Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science, vol. 27, no. 1, pp. 33-41, 2019. doi: 10.22363/2658-4670-2019-27-1-33-41.
  13. Y. Ying and M. Malykh, “On the realization of explicit Runge-Kutta schemes preserving quadratic invariants of dynamical systems,” Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science, vol. 28, no. 4, pp. 313-331, 2020. doi: 10.22363/2658-4670-2020-28-4-313-331.
  14. L. González and M. D. Malykh, “On a new package for the numerical solution of ordinary differential equations in Sage,” in Information and telecommunication technologies and mathematical modeling of high-tech systems. Materials of the All-Russian Conference with international participation, In Russian, Moscow: RUDN, 2022.
  15. A. Baddour and M. Malykh, “Richardson-Kalitkin method in abstract description,” Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science, vol. 29, no. 3, pp. 271-284, 2021.
  16. W. H. Press. “Numerical Recipes Home Page.” (2019), [Online]. Available: http://numerical.recipes.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Ин Ю., Лу Ч., 2022

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.