Комплексные собственные значения в квантовой механике Курышкина-Вудкевича

Рассматривается одна из возможных версий квантовой механики, известная как квантовая механика Курышкина–Вудкевича. В этой версии существует положительная квантовая функция распределения, но, в расплату за это, правило квантования фон Неймана заменено более сложным правилом, при котором наблюдаемой величине $A$ ставится в соответствие псевдодифференциальный оператор ${\hat{O}(A)}$. Эта версия представляет собой пример диссипативной квантовой системы и поэтому ожидалось, что собственные значения гамильтониана должны иметь мнимые части. Однако точечный спектр гамильтониана водородоподобного атома в этой теории оказался вещественным. В настоящей статье мы предлагаем следующее объяснение этого парадокса. Традиционно принимают, что в некотором состоянии ${\psi}$ величина $A$ равна ${\lambda}$, если ${\psi}$ — собственная функция оператора ${\hat{O}(A)}$. При этом дисперсия ${\hat{O}((A-\lambda)2)\psi}$ равна нулю в стандартной версии квантовой механике, но не равна нулю в механике Курышкина. Поэтому можно рассмотреть такой спектр значений и соответствующих им состояний, при которых дисперсия ${\hat{O}((A-\lambda)2)}$ равна нулю. В статье исследован спектр квадратичного пучка ${\hat{O}(A2)-2\hat{O}(A)\lambda + \lambda 2 \hat{E}}$  методами теории возмущений в предположении малости дисперсии ${\hat{D}(A) = \hat{O}(A2) - \hat{O}(A) 2}$ наблюдаемой $A$. Показано, что в окрестности вещественного собственного значения ${\lambda}$  оператора ${\hat{O}(A)}$, имеется два собственных значения операторного пучка, которые в первом порядке теории возмущений различаются на величину ${\pm i \sqrt{\langle \hat{D} \rangle}}$.