Квантование классических двумерных гамильтоновых систем

В статье рассматривается класс гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. На основе классической нормальной формы, согласно правилам Борна-Йордана и Вейля-Маккоя, построены её квантовые аналоги, для которых решена задача на собственные значения и найдены приближённые формулы для энергетического спектра. Для конкретных значений параметров квантовых нормальных форм с использованием этих формул были проведены численные расчёты нижних энергетических уровней, полученные результаты были сопоставлены с известными данными других авторов. Обнаружено, что наилучшее согласие с известными результатами достигается с использованием правила квантования Вейля-Маккоя. Процедура нормализации классической функции Гамильтона является крайне трудоёмкой задачей, так как вовлекает сотни и даже тысячи многочленов для необходимых преобразований. Поэтому в работе нормализация выполняется с помощью системы компьютерной алгебры REDUCE. Показано, что использование правил соответствия Борна- Йордана и Вейля-Маккоя приводит практически к одним и тем же значениям для энергетического спектра, при этом их близость увеличивается для больших величин квантовых чисел, то есть для высоковозбуждённых состояний. В работе использовано каноническое преобразование, квантовый аналог которого позволяет построить собственные функции для квантовой нормальной формы и получить таким образом аналитические формулы для энергетических спектров разных гамильтоновых систем. Итак, показано, что квантование классических гамильтоновых систем, в том числе допускающих классический режим движения, с применением метода нормальных форм даёт очень точное предсказание уровней энергии.