Сдвинутые точки Соболя и многосеточный расчёт методом Монте-Карло

Многомерные интегралы возникают во многих задачах физики. Например, моменты функции распределения в задачах переноса различных частиц (фотонов, нейтронов и др.) являются 6-мерными интегралами. При расчёте коэффициентов электропроводности и теплопроводности возникают интегралы рассеяния, размерность которых равна 12. Возникают задачи и с существенно большим числом переменных. Для вычисления интегралов столь высокой кратности наиболее эффективен метод Монте-Карло. Однако работоспособность этого метода сильно зависит от выбора последовательности, имитирующей набор случайных чисел. В литературе описано большое количество генераторов псевдослучайных чисел. Их качество проверяется с помощью батарей формальных тестов. Однако простейший визуальный анализ показывает, что прохождение таких тестов не гарантирует хорошей равномерности этих последовательностей. Для вычисления многомерных интегралов наиболее эффективны магические точки Соболя. В данной работе предложено усовершенствование этих последовательностей - смещённые магические точки Соболя, обеспечивающие большую равномерность распределения точек в многомерном кубе. Это ощутимо повышает точность кубатур. Существенной трудностью методов Монте-Карло является апостериорное подтверждение фактической точности. В данной работе предложен многосеточный алгоритм, позволяющий найти сеточное значение интеграла одновременно со статистически достоверной оценкой его точности. Ранее такие оценки были неизвестны. Проведены расчёты представительных тестовых интегралов с высокой фактической размерностью до 16. В качестве подынтегральной функции выбрана многомерная функция Вейерштрасса, не имеющая производной ни в одной точке. Эти расчёты убедительно показывают преимущества предложенных методов.