Асимптотически точные оценки экспоненциальной сходимости для формулы трапеций

Во многих прикладных задачах требуется экономичное вычисление квадратур с высокой точностью. Примерами являются: вычисление специальных функций математической физики, расчёт коэффициентов Фурье заданной функции, преобразования Фурье и Лапласа, численное решение интегральных уравнений, решение краевых задач для уравнений в частных производных в интегральной форме и т.д. Для сеточного вычисления квадратур обычно используют методы трапеций, средних и Симпсона. Обычно погрешность этих методов зависит от шага степенным образом, и для получения хорошей точности требуется большое число шагов. Однако существует ряд случаев, когда погрешность метода трапеций зависит от величины шага не квадратично, а экспоненциально. Такими случаями являются интеграл от периодической функции по полному периоду и интеграл по всей числовой прямой от функции, достаточно быстро убывающей на бесконечности. Если подынтегральная функция имеет полюса первого порядка в комплексной плоскости, то для таких квадратур справедливы мажорантные оценки точности Трефетена и Вайдемана. В работе построены новые оценки погрешности экспоненциально сходящихся квадратур от периодических функций по полному периоду. Подынтегральная функция может иметь произвольное число полюсов целого порядка на комплексной плоскости. Если сетка достаточно подробная (разрешает профиль подынтегральной функции), то предлагаемые оценки являются не мажорантными, а асимптотически точными. Экстраполируя, то есть исключая эту погрешность из численной квадратуры, можно вычислять интегралы указанных классов с точностью ошибок округления уже на чрезвычайно грубых сетках, содержащих всего ∼ 10 шагов.