О сопряжённых разностных схемах: схема средней точки и схема трапеций

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

В статье исследован вопрос о сохранении квадратичных интегралов на приближённых решениях автономных систем обыкновенных дифференциальных уравненийx˙=f(x), найденных по схеме трапеций. Установлена связь между схемой трапеции и схемой средней точки, которая сохраняет все квадратичные интегралы движения в силу теоремы Купера. Эта связь позволяет рассматривать схему трапеций как двойственную к схеме средней точки и отыскать двойственный аналог для теоремы Купера. Доказано, что на приближённом решении, найденном по симметрической схеме, сохраняется не сам квадратичный интеграл, а более сложное выражение, которое переходит в интеграл в пределе при ∆t→0. Результаты проиллюстрированы примерами — линейным и эллиптическим осцилляторами. В обоих случаях в явном виде выписаны выражения, которые сохраняет схема трапеций.

Об авторах

Юй Ин

Университет Кайли

Автор, ответственный за переписку.
Email: 45384377@qq.com

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Assistant Professor of Department of Algebra and Geometry

Kaiyuan Road 3, Кайли, 556011, Китай

М. Д. Малых

Российский университет дружбы народов

Email: malykhmd@pfur.ru

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Assistant Professor of Department of Applied Probability and Informatics

ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Россия

Список литературы

  1. A. Goriely, “Integrability and nonintegrability of dynamical systems,” in Advanced Series in Nonlinear Dynamics. Singapore; River Edge, NJ: World Scientific, 2001, vol. 19. doi: 10.1142/3846.
  2. D. Greenspan, “Completely conservative, covariant numerical methodology,” Computers & Mathematics with Applications, vol. 29, no. 4, pp. 37-43, 1995. doi: 10.1016/0898-1221(94)00236-E.
  3. D. Greenspan, “Completely conservative, covariant numerical solution of systems of ordinary differential equations with applications,” Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano, vol. 65, pp. 63-87, 1995. doi: 10.1007/BF02925253.
  4. J. C. Simo and M. A. González, “Assessment of Energy-momentum and Symplectic Schemes for Stiff Dynamical Systems,” in American Society of Mechanical Engineers. ASME Winter Annual Meeting, New Orleans, Louisiana, 1993.
  5. E. Graham, G. Jelenić, and M. A. Crisfield, “A note on the equivalence of two recent time-integration schemes for N-body problems,” Communications in Numerical Methods in Engineering, vol. 18, pp. 615-620, 2002. doi: 10.1002/cnm.520.
  6. G. J. Cooper, “Stability of Runge-Kutta methods for trajectory problems,” IMA Journal of Numerical Analysis, vol. 7, pp. 1-13, 1 1987. doi: 10.1093/imanum/7.1.1.
  7. Y. B. Suris, “Hamiltonian methods of Runge-Kutta type and their variational interpretation [Gamil’tonovy metody tipa Runge-Kutty i ikh variatsionnaya traktovka],” Matematicheskoe modelirovaniye, vol. 2, no. 4, pp. 78-87, 1990, in Russian.
  8. J. M. Sanz-Serna, “Symplectic Runge-Kutta schemes for adjoint equations, automatic differentiation, optimal control, and more,” SIAM review, vol. 58, pp. 3-33, 2016. doi: 10.1137/151002769.
  9. E. Hairer, G. Wanner, and C. Lubich, Geometric numerical integration. Structure-preserving algorithms for ordinary differential equations. Berlin Heidelberg New York: Springer, 2000.
  10. V. P. Gerdt, M. D. Malykh, L. A. Sevastianov, and Yu Ying, “On the properties of numerical solutions of dynamical systems obtained using the midpoint method,” Discrete & Continuous Models & Applied Computational Science, vol. 27, no. 3, pp. 242-262, 2019. DOI: 10.22363/ 2658-4670-2019-27-3-242-262.
  11. Y. A. Blinkov and V. P. Gerdt, “On computer algebra aided numerical solution of ODE by finite difference method,” in International Conference Polynomial Computer Algebra’2019; St. Petersburg, April 15-20, 2019, N. N. Vassiliev, Ed., SPb: VVM Publishing, 2019, pp. 29-31.
  12. F. Klein, Vorlesungen über Nicht-Euklidische Geometrie. Springer, 1967. doi: 10.1007/978-3-642-95026-1.
  13. P. F. Byrd and M. D. Friedman, Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Scientists. Springer, 1971. doi: 10.1007/978-3-642- 65138-0.

© Ин Ю., Малых М.Д., 2021

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах