Численное определение порядка особенности системы дифференциальных уравнений

В статье рассматриваются подвижные особые точки систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Дан обзор результатов Пенлеве об алгебраичности этих точек и их связи с задачей Г. И. Марчука об определении положения и порядка подвижных особых точек по методу конечных разностей. Представлена реализация численного метода решения этой задачи, предложенная Н. Н. Калиткиным и Е. А. Альшиной (2005) на основе комплексной схемы Розенброка, в системе компьютерной алгебры Sage - пакет CROS for Sage. Описаны основные функции этого пакета, приведены численные примеры использования каждой из них. В целях верификации метода проведены компьютерные эксперименты: (1) с уравнениями, обладающими свойством Пенлеве, для которых порядки должны получаться целыми числами; (2) с динамической системой Калоджеро. Эта система, хорошо известная как нетривиальный пример вполне интегрируемой гамильтоновой системы, в данном контексте интересна тем, что координаты и импульсы являются алгебраическими функциями времени, причём порядки подвижных точек ветвления можно вычислить явно. В рамках численных экспериментов обнаружено, что условия применимости метода требуют дополнительных оговорок, связанных с исключением точек суперсходимости.