Об алгебраических интегралах дифференциального уравнения

В статье рассматривается проблема интегрирования дифференциального уравнения в алгебраические функции, которая возникла вместе с интегральным исчислением, но все еще не полностью решена в конечной форме. Трудности, с которыми сталкиваются современные системы компьютерной алгебры при ее решении, рассматриваются на примере Maple. Представлено решение по методу определителей Лагутинского и его реализация в виде пакета Sagemath. Приведены необходимые условия существования интеграла сжимающего дифференцирования. Вывод кольца будет называться сжимающим, если существует такой базис B= {m1, m2, … }, в котором Dmi= cimi+o (mi). Докажем, что сжимающий дифференциал кольца полиномов допускает общий интеграл только в том случае, если среди индексов c1, c2, … равны. Эта теорема удобна для применения к задаче нахождения алгебраического интеграла уравнения Брио-Буке и дифференциальных уравнений с символическими параметрами. Получен ряд необходимых критериев существования интеграла, в том числе для дифференциальных уравнений Брио и Буке. Новые необходимые условия существования рационального интеграла относительно неподвижной особой точки даны и реализованы в Sage.