Программное обеспечение для численного решения дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка

Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка, возникающие в прикладных задачах оптики и оптоэлектроники, часто содержат коэффициенты, которые не определяются одним аналитическим выражением во всей рассматриваемой области. Например, уравнение эйконала содержит показатель преломления, который описывается различными выражениями в зависимости от оптических свойств сред, которые заполняют рассматриваемую область. Этот тип уравнений не может быть проанализирован стандартными инструментами, встроенными в современные системы компьютерной алгебры, включая Maple. В статье рассматривается адаптация классического метода Коши интегрирования уравнений в частных производных первого порядка к случаю, когда коэффициенты уравнения являются различными аналитическими выражениями в подобластях G1,. , , , Gk, на которые делится рассматриваемый домен. В этом случае предполагается, что эти субдомены задаются неравенствами. Этот метод интеграции реализован как программа на Python с использованием библиотеки SymPy. Характеристики рассчитываются численно с использованием метода Рунге-Кутты, но с учетом изменения выражений для коэффициентов уравнения при переходе от одного субдомена к другому. Описаны основные функции программы, в том числе те, которые можно использовать для иллюстрации метода Коши. Проверка проводилась путем сравнения с результатами, полученными в системе компьютерной алгебры Maple.