Задачи символьных вычислений, связанные с методами Рунге-Кутты и их решение в Sage

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Схемы Рунге-Кутты играют очень важную роль в численном решении обыкновенных дифференциальных уравнений. В работе  представлен пакет rk, являющийся подпрограммой Sage для вычисления матрицы Бутчера. Было проведено несколько численных экспериментов со стандартными и симплектическими схемами и проведена верификация  с аналитическими результатами вычислений. Во-вторых, в Sage есть превосходные инструменты для исследования алгебраических множеств, основанные на методе базиса Грёбнера. Как известно, выбор параметров в схеме Рунге-Кутты свободен. С помощью этих инструментов получены алгебраические свойства многообразий в аффинном пространстве, координатами которых являются коэффициенты Бутчера в схеме Рунге-Кутты. Результаты приведены как для явной схемы Рунге-Кутты, так и для неявной схемы Рунге-Кутты с использованием разработанного  пакета rk. Также приведены примеры для обоснования полученных результатов. Все расчеты выполнены в системе компьютерной алгебре Sage.

Об авторах

Юй Ин

Российский университет дружбы народов; Университет Каили

Автор, ответственный за переписку.
Email: yingy6165@gmail.com

postgraduate student of Department of Applied Probability and Informatics of Peoples’ Friendship University of Russia (RUDN University); assistant professor of Department of Algebra and Geometry, Kaili University

6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russian Federation; 3, Kaiyuan Road, Kaili, 556011, China

Список литературы

  1. E. Hairer, G. Wanner, S. P. Nørsett, Solving ordinary differential equations, 3rd Edition, Vol. 1, Springer, New York, 2008.
  2. The Sage Developers, SageMath, the Sage Mathematics Software System (Version 7.4) (2016). URL https://www.sagemath.org
  3. W. Stein, D. Joyner, SAGE: system for algebra and geometry experimentation, ACM SIGSAM Bulletin 39 (2) (2005) 61-64.
  4. A. Y. Golubkov, A. I. Zobnin, S. O. V., Computer algebra in the Sage system. Manual [Komp’yuternaya algebra v sisteme Sage. Uchebnoye posobiye], Bauman Moscow State Technical University, Moscow, 2013, in Russian.
  5. S. I. Khashin, A symbolic-numeric approach to the solution of the Butcher equations, Canadian Applied Mathematics Quarterly 17 (3) (2009) 555-569.
  6. S. I. Khashin, Butcher algebras for Butcher systems, Numerical Algorithms 63 (4) (2013) 679-689. doi: 10.1007/s11075-012-9647-x.
  7. J. H. Verner, Explicit Runge-Kutta pairs with lower stage-order, Numerical Algorithms 65 (3) (2014) 555-577. doi: 10.1007/s11075-012-9647-x.
  8. E. Hairer, G. Wanner, C. Lubich, Geometric numerical integration. Structure-preserving algorithms for ordinary differential equations, 2nd Edition, Springer, New York, 2000.
  9. J. M. Sanz-Serna, Symplectic Runge-Kutta schemes for adjoint equations, automatic differentiation, optimal control, and more, SIAM REVIEW 58 (1) (2016) 3-33. doi: 10.1137/151002769.
  10. M. N. Gevorkyan, J. V. Gladysheva, Symplectic integrators and the problem of wave propagation in layered media, Bulletin of Peoples’ Friendship University of Russia. Series: Mathematics. Information Sciences. Physics (1) (2012) 50-60, in Russian.
  11. Nuan Fang Xu, Zi-Chen Deng, Yan Wang, Kai Zhang, A symplectic Runge-Kutta method for the analysis of the tethered satellite system, Multidiscipline Modeling in Materials and Structures 13 (1) (2017) 26-35. doi: 10.1108/MMMS-11-2016-0060.

© Ying Y., 2019

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах