Космологические модели типа VIII по Бьянки с жидкостью, описываемой уравнением состояния газа Чаплыгина

Полный текст

1. Введение Обращение к анизотропной космологии обусловлено наблюдательными фактами [1- 3], демонстрирующими возможность крупномасштабных отклонений от изотропии в наблюдаемой Вселенной, при этом глобальная анизотропия Вселенной может быть связанна в том числе и с космологическим вращением. С другой стороны, в нынешнюю эпоху Вселенная расширяется с ускорением, причиной которого является, по-видимому, тёмная энергия. В работах [4, 5] авторами были получены результаты для метрики рассматриваемого типа, но с другими материальными источниками. В данной работе в рамках общей теории относительности построена космологическая модель с расширением и вращением с метрикой типа VIII по Бьянки вида d�2 = ��� ���� , (1) где ��� - элементы лоренцевой матрицы, �, � = {0, 1, 2, 3}, �� - ортонормированные 1-формы, выражающиеся через масштабный фактор � следующим образом: �0 = d� - �����, �� = d� - �����, при этом �� = {0, 0, 1}, �� = {�, �, �}, � = {1, 2, 3}. 1-формы �� имеют следующий вид: �1 = ch � cos � d� - sin � d�, �2 = ch � sin � d� + cos � d�, �3 = sh � d� + d�. (2) Источниками гравитации в первой модели являются анизотропная жидкость, которая описывает вращающуюся тёмную энергию, и идеальная жидкость, описывающая барионную материю. Во второй модели - анизотропная жидкость и космологическая постоянная, описывающие вращающуюся тёмную энергию, и газ Чаплыгина, описывающий некую экзотическую материю. Построенные космологические модели отличны от ранее найденных космологических решений для метрики (1) с базисными 1-формами (2). Расчёты, связанные с решением уравнений Эйнштейна, проведены с использованием тетрадного формализма в естественно возникающем базисе лоренцевой тетрады. 2. Космологическая модель с анизотропной жидкостью и пылевидной материей Будем искать для метрики (1) космологическое решение уравнений Эйнштейна 1 ��� - 2 ��� � = ��� . (3) �2(3 - �2 - 4�2) + 4�4(3�2 - 12)�˙ 2 - 8�4��¨ 2 �00 = �11 = 4�4�2�2 = �(1 + �3 ) + �, (1 - �2)(︀�2 + 4�4(�˙ 2 + 2��¨))︀ 4�4�2�2 = �, (4) �2(4�2 + 3�2 - 1) + 4�4(3 - �2)�˙ 2 - 8�4�2��¨ 2 �33 = 4�4�2�2 = � + ��3 , �2 + 4�4(�˙ 2 - ��¨) √︁ 2 �03 = 2�4��2 = ��3 1 + �3 . У нас используется такая система единиц, что скорость света и гравитационная постоянная, умноженная на 8�, равны единице. При этом тензор энергии-импульса анизотропной жидкости в тетрадном представлении имеет вид � (1) �� = (� + �) ���� + (� - �)���� - ���� , (5) 0 где �, � - давления анизотропной жидкости в трёх направлениях, определяемых тетрадой, � - плотность энергии идеальной жидкости, �� = �� - вектор 4-скорости сопутствующей анизотропной жидкости в проекции на тетраду, - вектор анизотропии в проекции на тетраду. В координатном представлении � = {0, 0, 0, 1} - вектор анизотропии в проекции на тетраду. В координатном представлении �� = �(�) (3) � �� = �� �3 = {0, �� sh(�), 0, ��} . Тензор энергии-импульса идеальной пылевидной жидкости имеет вид: � (2) �� = ����� , (6) где � = {�0, 0, 0, �3}, � - плотность жидкости. В итоге суммарный тензор энергии-импульса имеет вид ��� = � (1) (2) �� + ��� = (� + �) ���� + (� - �)���� - ���� + ����� . (7) Пусть давление � удовлетворяет уравнению состояния газа Чаплыгина � = -�/�. (8) Выражая из (4) с учётом (8) параметры материи, имеем плотность энергии анизотропной жидкости � = (︀ 4�4�2�2� )︀ , (9) её давления (�2 - 1) �2 + 4�4(�˙ 2 + 2��¨) - - (1 �2)(︀�2 4�4(�˙ 2 + 2��¨))︀ � = � 4�4�2�2� , (10) �2(4�2 + 3�2 - 1) + 4�4(3 - �2)�˙ 2 - 8�4�2��¨ � = 4�4�2�2 - (︁ �2 +4�4 (�˙ 2 -��¨) )︁2 (︁ (1-�2 )(�2 +4�4 (�˙ 2 +2��¨)) )︁ 2�4 ��2 4�4 �2 �2 , (11) - (︁ �2 (3-�2 -4�2 )+4�4 (3�2 -12 )�˙ 2 -8�4 ��¨ )︁ (︁ (1-�2 )(�2 +4�4 (�˙ 2 +2��¨)) )︁ + � 4�4 �2 �2 4�4 �2 �2 плотность изотропной пылевидной жидкости (︁ �2 (3-�2 -4�2 )+4�4 (3�2 -12 )�˙ 2 -8�4 ��¨ )︁ (︁ (1-�2 )(�2 +4�4 (�˙ 2 +2��¨)) )︁ + � 4�4 �2 �2 � = (︁ (1- 4�4 �2 �2 �2 )(�2 +4�4 (�˙ 2 +2��¨)) )︁ - 4�4 �2 �2 (︁ �2 +4�4 (�˙ 2 -��¨) )︁2 (︁ (1-�2 )(�2 +4�4 (�˙ 2 +2��¨)) )︁ 2�4 ��2 4�4 �2 �2 , (12) - (︁ (1-�2 )(�2 +4�4 (�˙ 2 +2��¨)) )︁ (︁ �2 (3-�2 -4�2 )+4�4 (3�2 -12 )�˙ 2 -8�4 ��¨ )︁ + � 4�4 �2 �2 4�4 �2 �2 и квадрат её скорости 2 (︃�2 + 4�4(�˙ 2 - ��¨) )︃ 2�4��2 (︃(1 - �2)(︀�2 + 4�4(�˙ 2 + 2��¨) 4�4�2�2 )︀ )︃2 �2 . (13) 3 = ⎛ ⎝(� + �)2 - (︃�2 + 4�4(�˙ 2 - ��¨) 2�4��2 )︃2 (︃ (1 - �2)(︀�2 + 4�4(�˙ 2 + 2��¨))︀ 4�4�2�2 )︃2⎞ ⎠ Поскольку число уравнений превышает число неизвестных, наложим дополнительное условие (︃(︂ 3�¨ )︂ � = + � � )︃ (︂ 1 - �2 )︂ �2 �2 , (14) которое влечёт за собой уравнение, определяющее масштабный фактор: �˙ 2 - ��¨ = �, (15) где введено обозначение � = � - �2/4�4. Его общее решение даётся комбинацией экспонент, выбором постоянных интегрирования, всегда приводящихся к одному из следующих выражений: � = (√�/�) sh(��), � > 0, (16) � = (√-�/�) ch(��), � < 0, (17) � = �0���, � = 0. (18) Данными зависимостями можно моделировать как современную стадию ускоренного расширения, так и обе стадии инфляции. Кинематические параметры вращающейся анизотропной жидкости имеют следующий вид: § параметр расширения: Θ = 3�˙ /�, § ускорение: � = �˙ /��, § параметр вращения: � = 1/2�2�, § сдвиг отсутствует. 3. Космологическая модель с анизотропной жидкостью, газом Чаплыгина и Λ-членом Рассмотрим ситуацию, когда источниками гравитации являются сопутствующая анизотропная жидкость, идеальная жидкость с уравнением состояния газа Чаплыгина и лямбда-член. Введя обозначения: � - плотность сопутствующей анизотропной жидкости, �, � - её давления, - плотность газа Чаплыгина, � - его давление, и учтя Λ-член, получим следующий тензор энергии-импульса: ��� = (� + �) ���� - ���� + ( + �)���� - ���� + Λ��� . (19) Примем �� = {1, 0, 0, 0}, а также запишем уравнения состояния идеальной жидкости � = ��, � = -�/. Тогда уравнения Эйнштейна (3) примут следующий вид: �2(3 - �2 - 4�2) + 4�4(3�2 - 1)�˙ 2 - 8�4��¨ �00 = �11 = 4�4�2�2 = � + + Λ, (20) (1 - �2)(�2 + 4�4(�˙ 2 + 2��¨)) 4�4�2�2 = � + � - Λ, (21) �33 = �2(4�2 + 3�2 - 1) + 4�4(3 - �2)�˙ 2 - 8�4�2��¨ 4�4�2�2 = � + � - Λ, (22) �2 + 4�4(�˙ 2 - ��¨) �03 = 2�4��2 = 0. (23) Решение уравнений (20)-(23) даёт масштабный фактор � = (�/2�2�) ch(��), (24) и, с учётом уравнений состояния, = ( + √2 - 4�)/2, где ��2(3 - �2 - 4�2) + �2(�2 - 1) + 4�4(�(3�2 - 1) + �2 - 1)�˙ 2 = 4�4�2�2 + 8�4(�2 - 1 - �)��¨ + 4�4�2�2 - Λ(� + 1). (25) Плотность энергии всегда положительна при условиях � > √︀1 + �, �2 < 1 (3 - �2), � < 2� 3(�2 - 1) + �2 . (26) 4 2�3 + Λ�2 Отметим, что кинематические параметры этой модели аналогичны величинам, рассмотренным в предыдущем случае. При этом вращение затухает, но анизотропная жидкость, в отличие от ситуации, имеющей место в отсутствие газа Чаплыгина, не изотропизируется. Качественное рассмотрение первой стадии инфляции при расширении Вселенной от планковского масштаба до современного размера наблюдаемой Вселенной 1028 см, даёт порядок угловой скорости вращения 10-11 рад/год.

Об авторах

Даниил Михайлович Янишевский

Пермский государственный национальный исследовательский университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: ydm86@yandex.ru

соискатель кафедры высшей математики ПГНИУ

ул. Букирева, д. 15, г. Пермь, Россия, 614990

Список литературы