О нормальных модах закрытого волновода с разрывным заполнением

Полный текст

1. Введение Закрытые волноводы являются наиболее изученным объектом математической теории волноведущих систем. Ещё в середине прошлого века были предложены корректные модели распространения волн по таким системам, в частности была рассмотрена весьма сложная как для теоретического анализа, так и для применения численных методов векторная модель, в которой рассматриваются поля, удовлетворяющие уравнениям Максвелла. Наиболее изученными оказались волноводы, заполненные однородным веществом, исчерпывающая теория которых была построена в ставших уже классическими работах А. Н. Тихонова и А. А. Самарского [1]. Тем не менее математическая сторона моделирования волноводов с сложным заполнением на основе уравнений Максвелла не развита в полной мере. Дело в том, что ключевым техническим моментом в теории полого волновода является использование потенциалов Герца или функции Боргниса [2, 3]. Этот приём не удалось обобщить на случай волноводов с переменным заполнением, и это заставляет работать с компонентами электромагнитных полей в специально конструируемых пространствах Соболева, для которых приходится в теории доказывать свои теоремы вложения [4-7], а на практике - использовать смешанные конечные элементы [8- Статья поступила в редакцию 14 сентября 2018 г. 10]. Это, в частности, существенно осложняет использование свободных и хорошо отлаженных конечно элементных программ (FEA software) для расчёта волноводов со сложным заполнением. Современное развитие волоконной оптики и создание мета-материалов вновь возвращает нас к модели закрытого волновода, заполнение которого описывается кусочно-постоянной функцией. Вероятно, наиболее очевидным примером являются многожильные оптические волокна (multicore fiber), которые активно исследуются в последнее время, поскольку пропускная способность обычных одноканальных волокон использована уже почти полностью [11] и, очевидно, недостаточна для перемещения огромных массивов данных, что является ключевым моментом на пути к мобильным сетям 5G. Следует также заметить, что распространение волноводных мод по открытым оптическим волноводам, равно как и взаимодействие нескольких таких волноводов, можно корректно моделировать, поместив всю волноведующую систему в ящик, на границе которого поставлены условия идеальной проводимости [12]. Не трудно заметить, что система «волокно + ящик» представляет собой ни что иное, как закрытый волновод со сложным заполнением. Конечной целью наших исследований [13-15] будет разработка численных методов исследования волноводов в стандартных функциональных пространствах и их реализация на высокоуровневых языках программирования, таких как FreeFem++ [16, 17], или в системах компьютерной алгебры. При этом мы стремимся использовать как можно более простые, а следовательно, и надёжные конструкции. На наш взгляд, ключевая проблема в исследовании волноводов с разрывным заполнением - необходимость работать с разрывными компонентами полей. Обычно потенциалы рассматривают как способ понижения системы уравнений в частных производных, то есть как способ интегрирования системы. Мы же хотим взглянуть на введение потенциалов как на замену переменных, при которой мы переходим от разрывных функций к гладким потенциалам. В этой статье мы опишем такую замену и покажем, как при её помощи вычислить дисперсионные кривые во FreeFem++. 2. Декомпозиция Гельмгольца Рассмотрим закрытый волновод постоянного сечения � с кусочно непрерывным заполнением и �, не меняющимся вдоль оси волновода. Линию разрыва заполнения обозначим как Γ. Направим ось �� декартовой системы координат по оси волновода. Под электромагнитным полем в закрытом волноводе � × � × � с заполнением , � будем понимать векторные поля �⃗ , �⃗ , компоненты которых определены на (� - Γ) × � × � , при условии, что сужение �⃗ , �⃗ и их частных производных по � и � на сечение � при любых значениях � и � являются кусочно гладкими функциями, удовлетворяющими 1. уравнениям Максвелла ⎧ � ⎨rot�⃗ = - � ∂��⃗ , · �⃗ = 0, (1) ⎩rot�⃗ = + ∂ �⃗ , · ��⃗ = 0 � � внутри волновода � × � × � ; 2. условиям идеальной проводимости стенок волновода �⃗ × ⃗� = 0, �⃗ · ⃗� = 0 (2) в регулярных точках границы ∂� × � × � ; 3. условиями сопряжения {︃[�⃗ × ⃗�] = ⃗0, [�⃗ · ⃗�] = 0 [�⃗ × ⃗�] = ⃗0, [��⃗ · ⃗�] = 0 в регулярных точках границы разрыва заполнения Γ × � × � . Наконец, примем для краткости, что (3) �⃗⊥ = (�� , �� , 0)� and = (∂� , ∂� , 0)� , ′ = (-∂� , ∂� , 0)� . Связь между полями и потенциалами зададим следующим образом: �⃗ = � 1 + ′� , �⃗ = � 1 + ′� . (4) ⊥ � � ⊥ � � � Каждая из этих формул представляет собой двумерный аналог декомпозиции Гельмгольца, хорошо известной в теории упругости [18]. Замечание 1. В электродинамике для поля �⃗ ⊥ такие потенциалы возникали при доказательстве полноты системы нормальных мод в качестве вспомогательной конструкции [5]. Все четыре потенциала были введены в нашей работе [14] для гладкого заполнения без коэффициентов 1/ и 1/�, важных только для разрывного случая. Теорема 1. Для любого электромагнитного поля �⃗ , �⃗ в волноводе найдутся o 2 � 1 такие функции ��, �� переменных �, � со значениями в пространстве Соболева � 1(�) и такие функции ��, �� переменных �, � со значениями в пространстве Соболева 2 (�), что справедливо равенство (4). Указанное представление единственно с точностью до аддитивных констант. Теорема 1 означает, что при переходе от переменных �⃗ , �⃗ к четырём потенциалам и двум компонентам �� , �� по формулам (4) не теряются решения уравнений Максвелла. При этом условия o ��, ��, �� ∈ � 1(�) and ��, ��, �� ∈ � 1(�) 2 2 заменяют нам условия на разрывах заполнения, равно как и граничные условия. Поскольку потенциалы являются элементами пространств Соболева, далее естественно рассматривать уравнения Максвелла в слабой форме [19]. Обратимся теперь к случаю, когда заполнение волновода является кусочно постоянным. Уравнения Максвелла дают, что потенциалы ��, �� и �� - элементы � 1 o 2(�), связанные уравнениями ⎧ ∫︁ ∫︁ ⎪ ⎪ (�, ��)���� = ∂� ∫︁ ∫︁ ��� ����, ⎨ � ∫︁ ∫︁ � � ∫︁ ∫︁ (5) ⎪ � ⎩ ⎪ (�, ��)���� = -∂� � � ��� ���� 0 � 1 для любой � из �∞(�), где �� = ∂� �� + ∂���, потенциалы ��, �� и �� - элементы 2 (�), связанные уравнениями ⎧ ∫︁ ∫︁ ⎪ ⎪ � (�, ��)���� = ∂� ∫︁ ∫︁ ���� ����, ⎨ � ∫︁ ∫︁ ⎪ ⎪ ⎩ � �(�, ��)���� = ∂� � ∫︁ ∫︁ � ���� ����, (6) для любой � из �∞(�), где �� = ∂� �� - ∂���. Уравнения (5) и (6) можно использовать и для конструирования полей в волновоo де. Если ��, �� и �� из � 1(�) удовлетворяют уравнениям (5), а ��, �� и �� из � 1(�) 2 2 удовлетворяют уравнениям (6), то поле �⃗ , �⃗ , вычисленное по формулам (4), удовлетворяет уравнениям Максвелла в обобщённом смысле. Более того, если это поле имеет вне разрывов заполнения непрерывные частные производные 1-го порядка по всем переменным, а на разрывах заполнения - разрывы 1-го рода, то это поле вне разрывов заполнения соответствует уравнениям Максвелла (1), условиям сопряжения (3) на разрывах заполнения и краевым условиям идеальной проводимости (2). Поскольку система уравнений Максвелла распалась на две независимые системы, электромагнитное поле �⃗ , �⃗ в волноводе, заполнение которого описывается кусочно постоянными функциями и �, представляет собой суперпозицию ТЕи ТМполей. 1. Нормальные ТМ-моды Покажем, как развитую теорию можно применить к отысканию нормальных мод волновода. Напомним, что под нормальной модой волновода будем понимать нетривиальное поле вида �⃗ = �⃗ (�, �)����-���, �⃗ = �⃗ (�, �)����-���, где � - положительное число (круговая частота моды), а �, вообще говоря, число комплексное (волновое число). Моды с вещественным волновым числом называют нормальными волнами, распространяющимися вдоль или против оси волновода. Нормальная ТМ-мода волновода описывается потенциалами �� = �˜�����-���, �� = �˜�����-���, которые удовлетворяют уравнениям ⎧ ∫︁ ∫︁ ⎪ ⎪ (�, �˜�)���� = -� 2 ∫︁ ∫︁ ��˜����� + �� ∫︁ ∫︁ ��˜�����, ⎨ � ∫︁ ∫︁ 1 � ∫︁ ∫︁ � ∫︁ ∫︁ (7) 2 ⎪ � ⎩ ⎪ (�, �˜�)���� = -�� � � ��˜����� + � � ��˜�����, для любой � ∈ o 2 � 1(�); здесь для краткости используется обозначение � = �/�. Перепишем эту систему уравнений в операторном виде, используя стандартную технику теории пространств Соболева [20], {︃��˜� = -�2��˜� + ����˜�, - � 1 �˜� = ����˜� + �2��˜�, (8) � где �, � 1 , � - ограниченные самосопряжённые операторы, а � ко всему прочему � ещё и вполне непрерывный. Для теоретического анализа удобно исключить �˜� и оставить одно уравнение ��˜� = -�2 (︃ � + � (︂ 1 �2 - � 1 � � )︂-1 )︃ � �˜�. (9) Поэтому задачу об отыскании всех нормальных ТМ-мод при заданной частоте � можно рассматривать как задачу на собственные значения для операторного пучка, в которой � = �2 рассматривается как спектральный параметр. В силу самосопряжённости операторов и полной непрерывности оператора � собственные o 2 функции этой задачи образуют базис пространства � 1(�). Отсюда нетрудно вывести, что любое ТМ-поле в волноводе можно представить в виде суперпозиции нормальных ТМ-полей. Замечание 2. Следует подчеркнуть, что мы установили именно базисность системы нормальных мод, полнота системы нормальных мод для волноводов со сложным заполнением была установлена в работах А.Л. Делицына [6, 7]. Этот результат является естественным обобщением теоремы о базисности системы нормальных мод полого волновода, установленной ещё в 1940-х годах А. Н. Тихоновым и А. А. Самарским [1, 3, 21]. При фиксированной частоте � имеется бесконечное число нормальных мод, из них лишь конечное число представляют собой бегущие волны. Прочие моды имеют чисто мнимые значения �. Наши вычисления мод волновода, заполненного веществом, основанные на неполном методе Галёркина [15], приводили в высших модах к волновым числам, имеющим как вещественную, так и мнимую части, одна из которых была очень мала. Теперь ясно, что это был чисто численный эффект. Чтобы описать параметры распространяющихся нормальных волн, удобно использовать дисперсионную кривую. Все точки ��-плоскости, где эта задача на собственные значения имеет нетривиальное решение, образуют кривую, которую будем называть дисперсионной кривой волновода. Для её построения естественно использовать метод усечения: мы будем использовать пространство конечных элементов вместо пространства Соболева и изменим операторами разреженными матрицам, порождёнными теми же самыми билинейными формами. Для вычисления этих матриц и дальнейших манипуляций с блочными разреженными матрицами мы использовали свободное программное обеспечение FreeFem ++ [17]. На этом языке, не опускаясь на уровень матриц и чисел, можно задать пространство конечных элементов и матрицы операторов �, � 1 , �. Однако вычисление � обратной матрицы приведёт к задаче на собственные значения с неразреженными матрицами, что существенно усложнит её решение. Поэтому для вычислений удобнее пользоваться исходной системой (8). Подставляя � = ��, мы можем переписать нашу задачу на собственные значения (8) в блочно-разреженном виде: (︂� 0 )︂ (︂�˜� )︂ � (︃ 2 2 - � ��)︃ (︂�˜� )︂ 0 � 1 � �˜� = � -�� � �˜� . Эту задачу можно решить стандартными средствами, если рассматривать �2 как собственное значение, а � - как параметр. Для построения дисперсионной кривой волновода теперь достаточно решать эту стандартную задачу, меняя значения � с некоторым шагом. Это позволяет нам работать во FreeFem++ со всеми волноводами, границы которых могут быть описаны параметрически с помощью элементарных функций, а заполнение - с помощью алгебраических неравенств. Вычислительные возможности этой программы проиллюстрируем примером. Пример 1. На рис. 1 представлена дисперсионная кривая для волновода с сечением � = {0 < � < 1} × {0 < � < 1} и кусочно постоянным заполнением - - {︃1, 2, (� 0, 5)2 + (� 0, 3)2 < 0, 5, = 1, иначе � = 1. (10) γ 12 10 8 6 4 2 k 4 6 8 10 12 14 Рис. 1. Дисперсионная кривая для примера 1. Сплошной линией отмечена ветвь �1(�), пунктиром - ветвь �2(�), которая с графической точностью совпадает с третьей ветвью Мы использовали 2120 треугольников для построения пространства конечных элементов и меняли значения � с шагом ∆� = 0.1. Чтобы проверить сходимость, мы сделали ряд числовых экспериментов для полого волновода. 2. Высокочастотный предел � В оптических задачах величина � = � весьма велика, поэтому весьма полезно взглянуть на высокочастотный предел [22]. Мы не можем перейти к пределу � → ∞ непосредственно в (9), но мы можем сделать это после усечения. Дело в том, что оператор � является вполне непрерывным и поэтому необратим. Однако МКЭ вносит некоторую регуляризацию: матрица � становится обратимой, причём норму обратной матрицы можно оценить через характерный линейный размер � используемой сетки как ‖�-1 ‖ ≃ �-2. Это обстоятельство позволяет применить формулу Неймана к задаче (9) после её дискретизации. В результате получится, что (︂ 1 )︂-1 � + � (︂ 1 1 -1 1 (︂ )︂)︂ -1 � � �2 � 1 - � � = -� - �2 � � 1 � + � �4 � и �2 (︂ ��˜� = �2 � � 1 + � (︂ 1 )︂)︂ �2 �˜�. - Если обозначить собственные значения пучка � �2� 1 � как ��, � = 1, 2, . . . , то собственные значения задачи (9) асимптотически равны �� = ��� + . . . . Таким образом, нормальные моды имеют вид �⃗ (�, �)������-���, �⃗ (�, �)������-���. Условие применимости формулы Неймана состоят в том, что �-2�-2 ≪ 1, т. е. шаг сети �, должен быть меньше длины волны в вакууме. Мы полагаем, что найденная формула может быть полезна для управления величиной отношения �/� волноводных мод путём изменения заполнения волновода. 3. Заключение В настоящей статье мы хотели показать, что теоретические и численные исследования электромагнитных полей в закрытых волноводах, заполнения которых описываются кусочно-постоянными функциями и �, возможно вести в стандартных пространствах Соболева и при помощи обычных конечных элементов. От разрывных компонент полей мы предлагаем перейти к четырём непрерывным скалярным функциям - потенциалам. Этот приём позволяет в теории легко обосновать базисность системы нормальных мод такого волновода, а на практике предложить способ приближенного вычисления нормальных мод, использующий стандартные средства численного анализа, разработанные для скалярных краевых задач математической физики. Для подтверждения этого проделаны численные эксперименты в среде FreeFem++.

Об авторах

Михаил Дмитриевич Малых

Автор, ответственный за переписку.
Email: malykh-md@rudn.ru

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной информатики и теории вероятностей РУДН

Список литературы