Дифференциальные свойства обобщённых потенциаловтипа Бесселя и типа Рисса

Полный текст

В работе изучаются дифференциальные свойства свёрток функций с ядрами, обобщающими классические ядра Бесселя-Макдональда Теория классических потенциалов Бесселя является важным разделом общей теории пространств дифференцируемых функций дробной гладкости и её приложений в теории дифференциальных уравнений в частных производных. Свойства классических ядер Бесселя-Макдональда подробно изучены в книгах Беннетта и Шарпли [1], С. М. Никольского [2], И. М. Стейна [3], В. Г. Мазьи [4]. Локальное поведение ядер Бесселя-Макдональда в окрестности начала координат характеризуется наличием особенности степенного типа 1 /|| - . В данной статье мы изучаем дифференциальные свойства свёрток функций с ядрами, обобщающими классические ядра Бесселя-Макдональда. В отличие от классического случая в них допускаются нестепенные особенности ядер в окрестности начала координат (см. подробнее [5, 6]). Интегральные свойства обобщённых потенциалов Бесселя-Рисса были рассмотрены в нашей работе [7]. Мы опираемся в наших оценках на результаты работы [8]. Дифференциальные свойства потенциалов характеризуются с помощью модулей непрерывности любых порядков в равномерной норме. В данной работе установлены точные оценки модулей непрерывности порядка ∈ . Отметим, что общие точные по порядку оценки для модулей непрерывности потенциалов были получены работах М. Л. Гольдмана, А. В. Малышевой, Д. Хароске [9 - 11]. Здесь мы конкретизируем эти общие результаты в случае, когда базовое пространство для потенциалов является весовым пространством Лоренца с общими весовыми функциями. Полученная конкретизация общих построений позволяет дать явные выражения для точных мажорант модулей непрерывности потенциалов и применить эти оценки для описания пространств типа Кальдерона, в которые вложены пространства потенциалов. 2. Вспомогательные определения Пространство потенциалов на -мерном евклидовом пространстве определяем как множество свёрток ядер потенциалов с функциями из базового пространства (см. где - перестановочно инвариантное пространство (кратко: ПИП). При этом используется аксиоматика, введённая авторами К. Беннетт и Р. Шарпли [1]. В частности, - ассоциированное ПИП, т. е. ПИП с нормой: Для ПИП ( R ), ′ ( R ) рассмотрим пространства ˜ - их представления Люксембурга, т. е. ПИП, для которых выполнены следующие соотношения ˜ - убывающая перестановка функции , т. е. неотрицательная убывающая непрерывная справа функция на R + = (0 , ∞ ), которая равноизмерима : Введём понятие максимальной функции (см. [7]): Введём класс монотонных функций следующим образом: функция Φ :, если для Φ выполнены следующие условия:: 1) Φ - убывающая и непрерывная на (0, ) функция; 2) существует постоянная ∈ R + такая, что Определение 1. Пусть Считаем, что если Определение 2. Пусть Считаем, что где - ПИП, если Определение 3 (см. [6]). Потенциалы ∈ называются обобщёнными потенциалами Бесселя, если Определение 4. Модуль непрерывности для в равномерной норме: Определение 5. Пространством Лоренца , где и > 0 - измеримые функции, называются пространства измеримых функций c конечной нормой (см. [7]): Определение 6. Пусть - идеальное пространство и ∈ . Мы вводим пространство Кальдерона 3. Вспомогательные теоремы Замечание 1. Пусть пусть - веса, и Мы будем использовать результат из работы [8]. А именно, при Кроме того, наилучшая постоянная в оценке () удовлетворяет условию . Теорема 1 (см. [10]). Пусть и функция такова, что при некотором Для свёртки справедлива оценка 1 ∈ R + имеет место оценка и выполнены соотношения Тогда свёртка , определённая в (2) , непрерывна на R + , и при для модуля непрерывности справедлива оценка 1 - постоянная из условия (3), Замечание 2. При выполнении условия неравенство (1) выполнено для любой функции т. е. теорема 1 применима для любого потенциала поскольку для него верна формула (2). Далее рассмотрены некоторые более простые оценки модулей непрерывности при дополнительных ограничениях на ядра потенциалов. Лемма 1. Пусть выполнено следующее условие: где не зависит от . Кроме того, пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда где 2 - постоянная из (4). Лемма 2. Для классических потенциалов, если > , справедлива оценка где ˜ Основная часть Лемма 3. Пусть выполнены условия леммы 1 и, кроме того, Доказательство (леммы 3). Из леммы 1 следует, что Мы будем использовать следующий вариант «второй перестановки»: Подставим эти обозначения в неравенство (7): Из этой оценки следует, что Тогда получим Из определения нормы в () следует По замечанию 1 отсюда следует, что Приведём критерий вложения пространства потенциалов в пространство Кальдерона Λ( ; ) (см. [11]). Теорема 2. Пусть выполнены условия леммы 1, тогда это условие выполнено при Доказательство (теоремы 2). При ∞ справедливо следующее вложение Теперь покажем, что В работе [11] установлено, что где - конус из функций Поэтому можно записать формулу для ℎ() в виде При условии где не зависит от , имеем: Вложение → означает, что это даёт оценку оценка примет вид При условии (5) и при можно писать, что Отметим, что и условии можно использовать критерий: Итак, при и условии 3 < ∞ справедливо вложение Здесь Φ 0 - функция, введённая в лемме 1. 5. Заключение В работе получены следующие основные результаты: 1. рассмотрены общие свойства потенциалов, построенных на базе весовых пространств Лоренца c общими весами; 2. установлены точные по порядку оценки равномерных модулей непрерывности потенциалов в случае вложения пространства потенциалов в пространство непрерывных ограниченных функций; 3. получены критерии вложений пространства потенциалов в пространство Кальдерона, приведена конкретизация этих вложений в случае базовых весовых пространств Лоренца.

Об авторах

Н Х Альхалиль

Российский университет дружбы народов

Автор, ответственный за переписку.
Email: khaleel.almahamad1985@gmail.com

Альхалиль Нисрин Хамадех - студент кафедры нелинейного анализа и оптимизации РУДН

ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, Россия, 117198

Х Алмохаммад

Российский университет дружбы народов

Email: khaleel.almahamad1985@gmail.com

Алмохаммад Халиль - студент кафедры нелинейного анализа и оптимизации РУДН

ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, Россия, 117198

Список литературы