Уединённая правополяризованная электромагнитная волнав релятивистской плазме

Полный текст

1. Введение Известно [1-3], что электрон может быть ускорен до высоких энергий в электромагнитном поле плоской волны, распространяющейся вдоль внешнего магнитного поля со скоростью света. Характерной особенностью этого способа ускорения является рост энергии частицы поперёк магнитного поля с последующей перестройкой поперечного движения электрона в продольное под действием силы Лоренца. В работе [4] было показано, что существуют электромагнитные импульсы, распространяющиеся в холодной плазме вдоль сильного магнитного поля в условиях циклотронного резонанса, имеющие вид солитонов со «встроенными» ленгмюровскими колебаниями. При этом насыщение амплитуды поля возникает из-за разделения зарядов плазмы под действием давления излучения, а дискретный набор частот определяется отношением частоты нелинейных колебаний плазмы к ленгмюровской частоте. Распространение уединённой ионно-акустической волны большой амплитуды в замагниченной плазме рассмотрено в работе [5]. Проблема решена без учёта нейтральности плазмы в пределах импульса, а потенциал определялся уравнением Пуассона. Найдены решения в форме сверхзвуковых и почти звуковых уединённых волн, распространяющихся относительно магнитного поля. Импульс имеет несколько пиков и существует для дискретного набора параметров волны. Амплитуда и частота уединённой волны определены как функции числа Маха, определяющего угол распространения относительно магнитного поля. Динамика солитонов в электронноионной плазме аналитически и численно исследована в работе [6]. 2. Основные уравнения Рассмотрим электромагнитную волну, распространяющуюся в плазме вдоль внешнего магнитного поля B 0 , направленного вдоль оси (см. рис. 1): Рис. 1. Геометрия электромагнитной волны Поля E и B описываются уравнениями Максвелла: (1) (2) (3) где A - вектор-потенциал, - плотность электронов, 0 - плотность невозмущённой плазмы, - гидродинамическая скорость электронов. Ионы считаем неподвижными. Движение электронов будем описывать релятивистскими гидродинамическими уравнениями где p = v - релятивистский импульс электронов, - электронная температура. Заметим, что в согласии с работой [7], массу электрона в уравнениях движения (4)-(6) следует заменить эффективной тепловой массой , которая определяется соотношением: , где - функции Макдональда. 3. Поперечное и продольное движения плазмы Введём поперечные и продольную ˜координаты смещения электрона от положения равновесия с помощью соотношений:(8) Уравнения (8) можно рассматривать как определение координат смещения которые функционально не связаны с поперечными координатами , системы отсчёта. Заметим, что ненулевое поперечное смещение электрона следует из наличия у него ненулевой поперечной скорости и не приводит к появлению зависимости функций поля от поперечных координат, если все электроны в поперечной плоскости движутся синхронно. Поскольку компоненты поля и гидродинамических переменных не зависят от поперечных координат, прямое интегрирование уравнений (1)-(4) с учётом соотношений (8) приводит к закону сохранения поперечного импульса: и введены комплексные величины: Мы предполагаем, что в отсутствие поля импульс и поперечное смещение электрона равны нулю. Из уравнений (3) для продольного поля и уравнения непрерывности (7) получаем: Учитывая, что интеграл последнего уравнения можно записать в виде: Нелинейный циклотронный резонанс После перехода к безразмерным переменным из (1), (2) и (4)-(5) получаем следующую систему уравнений: где введены следующие обозначения: (14) Будем искать решение системы уравнений (11)-(13) в виде бегущего импульса огибающей правополяризованной волны: (15) где - фаза волны, которая выбирается таким образом, чтобы величина Ξ оставалась вещественной, а амплитуда зависела от автомодельной переменнойЧастота и волновое число определяются равенствами: так что выполняется следующее соотношение: (16) В этом случае а безразмерные уравнения (11)-(13) можно записать в виде: где штрихом обозначена производная по . Так как и также зависят только от , то уравнение (16) имеет интеграл: Уравнение (17) является нелинейным обобщением условия циклотронного резонанса. Заметим, что система (17)-(20) не требует медленности изменения амплитуды волны и остаётся справедливой при Продольное смещение электронов и продольное электрическое поле = -() не зависят от циклотронной фазы Φ, как это имеет место и в линейной теории, что является следствием предположения (15) о циркулярной поляризации волны. Заметим также, что требование приводит к следующему выражению для циклотронной фазы Φ: Т.е. наша система математически эквивалентна уравнениям, получаемым из исходных с помощью подстановки: (21) Однако подстановка (21) не содержит физически осмысленного разделения на поперечные (циклотронные) и продольные (плазменные) колебания. В отсутствие теплового разброса сохраняется интеграл плотности энергии: (22) В случае конечного теплового разброса плотность энергии перестаёт сохраняться, однако, вводя потенциал можно записать закон сохранения плотности продольного импульса: (23) Заметим, однако, что интеграл продольного импульса (23) требует введения дополнительной переменной , и поэтому, в отличие от интеграла энергии (22), не приводит к реальному ограничению траектории движения. Получить аналитические решения системы уравнений (17)-(20) в общем случае весьма сложно. В связи с этим было проведено численное интегрирование этой системы в широкой области изменения параметров. Результаты расчётов показали, что для холодной плазмы существуют солитоны огибающей (рис. 2) с дискретным спектром несущей частоты. В нагретой плазме полученные решения не удовлетворяли солитонным граничным условиям при (рис. 3). Отсюда можно сделать вывод о том, что при конечных температурах плазмы авторезонансные солитоны огибающей формироваться не могут. Рис. 2. Солитонное решение в холодной плазме, Рис. 3. Электромагнитный импульс в нагретой плазме, Заключение В работе получена система уравнений (17)-(20) для огибающей нелинейной правополяризованной лазерной волны в нагретой плазме. Анализ численных решений этой системы показал, что в условиях электронно-циклотронного резонанса в холодной плазме такая волна может переходить в солитон огибающей. При этом продольные плазменные колебания целиком заперты внутри солитона. Такие решения возникают из-за сильной нелинейности, связанной с релятивистским движением электронов и резонансным возрастанием пондеромоторной силы. Численное интегрирование для плазмы с конечной температурой показало, что в условиях циклотронного резонанса устойчивых солитонных решений не существует. Построено аналитическое выражение для интеграла продольного импульса электронов в нагретой плазме. Сделан вывод о том, что нелинейное насыщение амплитуды излучения связано с возбуждением продольных колебаний плазмы под действием пондеромоторной силы. В этом случае дискретный набор значений несущей частоты солитона огибающей зависит от отношения частоты нелинейных продольных колебаний к ленгмюровской частоте плазмы.

Об авторах

В Г Дорофеенко

Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН

Автор, ответственный за переписку.
Email: dorofeen@gmail.com

Дорофеенко Виктор Геннадьевич - профессор, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник отдела кинетических уравнений ИПМ РАН им. М. В. Келдыша

Миусская пл., д. 4, Москва, Россия, 125047

В Б Красовицкий

Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН

Email: krasovit@mail.ru

Красовицкий Валерий Борисович - профессор, доктор физико-математических наук, эксперт отдела кинетических уравнений ИПМ РАН им. М. В. Келдыша

Миусская пл., д. 4, Москва, Россия, 125047

В А Туриков

Российский университет дружбы народов

Email: turikov_va@rudn.university

Туриков Валерий Алексеевич - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной физики РУДН

ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, Россия, 117198

Список литературы