К вычислению вероятностных характеристик СМО ограниченной ёмкости со случайными требованиями к ресурсам

Полный текст

1. Введение Стремительный рост популярности мобильных приложений, по мнению представителей инфокоммуникационной отрасли, способствует активному развитию технологии 4G и уже к 2020 году приведёт к полномасштабному развёртыванию инфраструктур для технологии поколения 5G [1]. Изменения затронут физический уровень с целью повышения скорости передачи данных, а также коснутся сетевой архитектуры, современные мобильные устройства могут работать в двух режимах - поддерживать сотовое соединения и подключаться к частным сетям малых сот (микро-, пико-, фемтосот) [2]. Новый класс прямых соединений устройств D2D, которые могут осуществляться как внутри полосы пропускания, так и вне выделенной полосы, позволят производить обмен данными минуя базовые станции и не создавать дополнительную нагрузку на существующие каналы [3]. Все предложенные изменения подразумевают более эффективное использование и разделение ресурсов и позволят существенно улучшить пропускную способность беспроводных каналов передачи данных. Принцип гетерогенности сетей, согласно которому происходит наложение зон покрытия макросот и малых сот, оказался самым доступным и бюджетным способом улучшить пропускную способность сетей LTE. Концепция разделения ВК и НК была предложена в [4] и, по мнению авторов, должна повысить эффективность использования радиоресурсов беспроводных сетей. Приведённые в [5, 6] аналитические исследования и результаты имитационного моделирования свидетельствуют о существенном выигрыше в производительности сети при раздельной ассоциации. Существующие модели разделения радиоресурсов в гетерогенных сетях позволяют определить параметры сети при фиксированном количестве пользовательских устройств и не принимают во внимание процессы установления новых соединений и завершения существующих. Чтобы иметь возможность наблюдать за показателями качества сети в динамике, в [7] предложена модель разделения ресурсов со следующими предположениями: 1. поступивший запрос на установление соединения с базовой станцией требует некоторый случайный объем ресурсов нескольких типов; 2. если для обслуживания соединения недостаточно ресурсов, то запрос будет отклонён; 3. устройство занимает требуемый объем ресурсов на все время обслуживания и освобождает его по завершении обслуживания. Модель с требованиями случайного объёма была представлена в [8], её анализ в общем виде предложен автором в [9]. В [10] исследуется общая модель с ограниченным ресурсом и требованиями случайного объёма к различным типам ресурсов. Ресурсы занимаются на все время обслуживания, а по его окончании освобождается ровно тот объем ресурсов, который занимался. Случайный процесс, описывающий поведение системы, должен учитывать объёмы занятых ресурсов каждой из заявок, что существенно усложняет его анализ. Было предложено упрощение, согласно которому по завершении обслуживания заявки освобождается некий случайный вектор ресурсов, не зависящий от поведения системы в прошлом при заданной числе заявок и векторе занятых ресурсов. В [11] и [12] с помощью имитационного моделирования были получены вероятностные характеристики исходной и упрощённой моделей, а также были найдены стационарные вероятности в предположении о пуассоновском входящем потоке заявок и экспоненциальном времени их обслуживания. Было доказано, что полученные значения стационарных вероятностей для обеих моделей эквиваленты. Представленные в работе результаты являются продолжением исследований в [13, 14]. 2. Математическая модель Рассматривается многолинейная СМО ограниченной ёмкости. Число приборов для обслуживания в системе не превышает , а доступный ресурс ограничен вектором R = (1, . . . , ). В систему поступает поток заявок классов, каждой из заявок класса для обслуживания необходимо выделить вектор r = (1, . . . , ) случайных требований к ресурсам типов. Все значения векторов r независимы от входящего потока и независимы в совокупности. Моменты поступления заявок -го класса подчинены пуассоновскому распределению с интенсивностью , а времена обслуживания заявок независимы от процесса поступления заявок, независимы в совокупности и распределены экспоненциально с параметром . Заявка -го класса займёт r единиц ресурсов с вероятностью ,r . Если выражение является -кратной свёрткой вероятностей тогда все заявок класса займут r единиц ресурсов с вероятностью ( ). В [14] было доказано, что распределение стационарных вероятностей рассматриваемой СМО имеет вид (1) с начальным значением (2): Введём функцию (r), просуммировав вероятности (r1, ..., r) по всем векторам занятых ресурсов r = r1 + ... + r: . (3) Теорема 1. Распределение стационарных вероятностей СМО с объединённым входящим потоком со средневзвешенным требованием задаётся формулами: Доказательство. Просуммируем обе части равенства (1) по всем векторам r, r1 + ... + r = r Покажем теперь, что (r) является k -кратной свёрткой вероятностей r и (r) = (). Пусть zr = (1 , . . . , ), тогда производящая функция Π (z) для (r) имеет вид также является производящей функцией. Произведение k функций (z) является k -кратной свёрткой средневзвешенного требования r, т.е. Теорема 1 позволяет получить аналитические формулы для вероятности блокировки и среднего объёма занятых ресурсов b: 3. Рекуррентный алгоритм Формулы (5) требуют вычисления -кратных свёрток вероятностей r для всех возможных векторов r�R. Чтобы понизить вычислительную сложность формул, был разработан алгоритм для вычисления нормировочной константы (, R) = 0-1, аналогичный алгоритму в [15]. C помощью нормировочной константы были получены рекуррентные формулы для нахождения вероятностных характеристик СМО. Введём обозначение: Теорема 2. Функция (, r) удовлетворяет рекуррентному соотношению (6) с начальными условиями (7): Доказательство. Зададим шаг индукции: Следствие 1. Вероятность блокировки системы вычисляется по формуле: Доказательство. Получим из (4) рекуррентную формулу для вероятности блокировки СМО с учётом (6): Следствие 2. Средний объем занятых ресурсов b вычисляется по формуле: Следствие 3. Второй момент числа занятых ресурсов может быть найден по формуле: где b2 = 12, . . . , 2 . Тогда дисперсия объёма занятых ресурсов 2 = b(2) - b2. Доказательство. 4. Заключение Многолинейную СМО ограниченной ёмкости с вектором случайных требований к ресурсам и несколькими классами заявок предлагается анализировать в виде СМО с объединённым входящим потоком средневзвешенных требований без потери точности. В качестве эффективного метода расчёта стационарных вероятностей и вероятностных характеристик упрощённой СМО был разработан рекуррентный алгоритм вычисления нормировочной константы и получены рекуррентные формулы для вероятности блокировки и среднего объёма и дисперсии занятых ресурсов.

Об авторах

Ольга Геннадиевна Вихрова

Автор, ответственный за переписку.
Email: vikhrova_og@rudn.university

Кафедра прикладной информатики и теории вероятностей

Список литературы