Поверхностные электромагнитные волны на границе анизотропных сред

Полный текст

В продолжении работ Дьяконова М. И. [1] и Аверкиева Н. С. [2] рассмотрим структуру, состоящую из двух одинаковых анизотропных сред, в общем случае двуосных, немагнитных (рис. 1). Граница раздела сред пусть находится в плоскости декартовой системы координат, совпадающей с кристаллографической системой координат анизотропных сред. Для того, чтобы граница раздела физически существовала, повернём «верхнюю» ( > 0) среду на угол вокруг оси , а «нижнюю» ( < 0) - на угол - вокруг той же оси. Рис. 1. Взаимное расположение анизотропных сред Пусть тензор диэлектрической проницаемости в кристаллографической системе координат () выглядит как: Для определённости будем считать, что 1 < 2 < 3, что, в большинстве случаев, характерно для реальных кристаллов. Иных ограничений на компоненты тензора накладывать не будем, в принципе они могут быть и комплексными. Тензор ˆ в «повёрнутой» на угол системе координат ( ) можно вычислить, используя матрицу поворота : Аналогичная матрица поворота для среды в нижнем полупространстве получится из (1) путём замены на -. Тензор ˆ в «повёрнутой» системе координат ( ) будет иметь вид: где: для среды при > 0 для среды при < 0 22 = 2 cos2 + 3 sin2 , 33 = 2 sin2 + 3 cos2 , 32 = - sin cos (3 - 2), 22 = 2 cos2 + 3 sin2 , 33 = 2 sin2 + 3 cos2 , 32 = sin cos (3 - 2). (2a) (2b) В сформированной таким образом анизотропной структуре будем искать решение уравнений Максвелла для поверхностных электромагнитных (ЭМ) волн, распространяющихся вдоль поверхности раздела в направлении оси , которая является биссектрисой угла между осями кристаллографических систем координат верхней и нижней анизотропных сред. Пусть зависимость полей всех плоских волн от времени и координат имеет вид exp ( + + ) , где ⃗ - волновой вектор, а , , - его проекции на оси координат. Для каждой из этих волн должно выполняться волновое уравнение (в гауссовой системе), полученное из уравнений Максвелла в векторной форме: ⃗ × ⃗ = -0⃗ , ⃗ × ⃗ = 0⃗ , ⃗ · ⃗ = 0, ⃗ · ⃗ ̸= 0. Это уравнение имеет вид: (3) где 0 = /, ⃗ = ˆ ⃗ . Подстановка (2a), (2b) в (3) приводит к матричному уравнению Здесь = , = , = - нормированные компоненты волнового вектора ⃗. Не теряя общности, можно предположить, что решением (4) является набор плоских волн с фазовыми фронтами параллельными оси , или d/d = 0, а с ним и = 0, что упростит (4). Приравнивая к нулю детерминант матрицы в (4), получим дисперсионное уравнение, связывающее компоненты волнового вектора и : (5) Биквадратное уравнение (5) даёт два решения для поперечных волновых чисел собственных плоских волн 2 и 2 в зависимости от продольного числа . Следует отметить - в данном случае необходимо полагать, что продольное волновое число будет одним и тем же для обеих собственных волн анизотропной среды [3]. Это обусловлено, естественно, наличием плоской границы у каждой из анизотропных сред, на которой тангенциальные компоненты волновых векторов собственных волн должны быть одинаковыми. Решение уравнения (5) можно записать в виде: (6) где ∆21 = 2 1, ∆31 = 3 1, ∆32 = 3 2. Ситуация существенно упрощается, если двуосные среды заменить одноосными. Для этого достаточно положить 1 = 2. Тогда биквадратное уравнение (5) распадается на два квадратных уравнения: 1 2 (7) Решения (7) дают значения поперечных волновых чисел для обыкновенной и необыкновенной собственных волн одноосной анизотропной среды: (8) ± Поскольку разыскивается решение волнового уравнения (3) для поверхностной волны, то амплитуды всех полей такой волны должны экспоненциально убывать вдоль оси [1]. Для существования такого решения необходимо, чтобы поперечные компоненты волновых векторов собственных волн были чисто мнимыми величинами, но при этом продол√ьная компонента должна быть действительной и не превышать, по крайней мере, 3. Проверим, так ли это в рассматриваемом случае. Для этого построим графические зависимости поперечных волновых чисел от продольного для случаев одноосных и двуосных сред (рис. 2). (a) (b) Рис. 2. Зависимости чисто мнимых поперечных волновых чисел от действительного продольного числа: a) - одноосные среды (1 = 4, 2 = 4, 3 = 6), b) - двуосные (1 = 2, 2 = 4, 3 = 6). В обоих случаях = /4 Из рис. 2 следует, что поверхностная ЭМ волна потенциально может существовать как в одноосной, так и в двуосной структурах. В обоих случаях в некотором диапазоне действительных продольных волновых чисел есть области с чисто мнимыми поперечными числами. Это условие является необходимым, но не является достаточным. Как видно из (6) и (8), наличие плоской границы у анизотропной среды связывает компоненты волновых векторов собственных волн вполне определённым образом. В силу этого и амплитуды полей этих собственных волн оказываются взаимосвязаны. Для определения этой связи воспользуемся волновым уравнением (4) при = 0. Поскольку значения поперечных волновых чисел уже известны (6) и (8), решим систему уравнений (4) относительно амплитуд полей собственных волн в анизотропной среде: (9) Амплитуды составляющих магнитного поля можно вычислить, используя уравнения Максвелла ( = 0): (10) Для окончательного решения вопроса о существовании поверхностной волны необходимо получить дисперсионное уравнение для этой волны и вычислить распределения амплитуд полей в поперечном сечении. Если искомое дисперсионное уравнение будет выполняться, то это и будет достаточным условием существования поверхностной волны. Дисперсионное уравнение можно получить методом «сшивания» на границе раздела сред тангенциальных составляющих собственных полей. Учитывая необходимые условия существования поверхностной волны на границе раздела сред, в (9) и (10) следует положить: при > 0 1 = 1, 2 = 2, > 0, при < 0 1 = -1, 2 = -2, < 0. Наличие определённой связи между компонентами полей собственных волн, обусловленное плоской границей, позволяет в (9) и (10) все амплитуды полей выразить через какую-нибудь одну (например, ), и последнюю представить при > 0 в виде: () = 2 + 1 = exp(-2) + exp(-1), где и - произвольные амплитуды. Для среды при < 0: () = 2 + 1 = exp(2) + exp(1). Остальные амплитуды собственных полей можно таким же образом выразить через неизвестные (пока) константы , , и . Приравнивая на границе раздела ( = 0) тангенциальные компоненты полей, получим следующее матричное уравнение относительно неизвестных констант: Из равенства нулю определителя этой системы линейных однородных уравнений получим ( 2 + 12 + 2 + 22 - 2)(2 - 22 + 12) = 0. Левый сомножитель не равен нулю при действительных значениях , следовательно, уравнение 2 = 22 - 12 (12) и будет искомым дисперсионным уравнением для поверхностной волны. Здесь следует заметить, что термин «дисперсионное уравнение» следует понимать в некоторой степени условно. Дисперсии в общепринятом смысле у такой поверхностной волны нет, если только не учитывать естественную дисперсию анизотропных сред. Это уравнение, на самом деле, описывает зависимость фазовой скорости такой волны от параметров среды - 1, 2, 3, . Для одноосной структуры аналогичное уравнение выглядит следующим образом: 2 = (1 cos2 + 3 sin2 ) - oe, (13) где o = o, e = e - поперечные волновые числа для обыкновенной и необыкновенной волн (8). Из уравнения (13) можно в явном виде выразить продольное волновое число (или фазовую скорость) поверхностной ЭМ волны: где ∆31 = 3 - 1. (14) Аналогичное выражение для случая двуосных сред не столь компактно, однако для полноты картины можно привести и его: (15) где, напомним, 22 = 2 cos2 + 3 sin2 , 33 = 2 sin2 + 3 cos2 (см. (2)). Остаётся заметить, что уравнение (15) переходит в (14) при замене 2 на 1, то есть при переходе к случаю одноосных сред. Поскольку фазовые скорости поверхностных волн в том и другом случаях зависят лишь от одного свободного параметра , приведём, для наглядности, эти зависимости в графическом виде (рис. 3). Рис. 3. Продольное волновое число поверхностной волны в зависимости от угла поворота: 1 - одноосные среды, 2 - двуосные Теперь, когда стали известными все поперечные и продольные волновые числа, можно вернуться к уравнению (11) и вычислить неизвестные ранее константы: (16) Для одноосных сред выражения для искомых констант имеют вид: (17) Поперечные распределения амплитуд полей можно записать в соответствии с ранее сделанными предположениями, например, для: и т. д. В графическом виде эти поперечные распределения амплитуд полей поверхностной волны представлены на рис. 4. Рис. 4. Поперечные (с точностью до константы) распределения амплитуд компонент электрического поля поверхностной волны: 1 = 2, 2 = 4, 3 = 9, 4 = . Координата измеряется в единицах длины волны, амплитуды - в относительных единицах В случае одноосных сред распределения амплитуд подобны приведённым выше. Сделаем в заключение ещё несколько существенных замечаний. Исходя из (14) и (15), можно показать, что фазовая скорость поверхностной волны оказывается самой медленной из всех фазовых скоростей собственных волн анизотропной среды (напрашивается аналогия с волной Релея в твёрдом теле). Действительно, продольное волновое число самой медленной из собственных волн анизотропной среды, распространяющейся в направлении , можно получить, если положить равным нулю поперечное число 2 (e) в уравнениях (6) или (8). Соответствующие вычисления дают следующие значения: в случае одноосных сред при e = 0 (8) , для двуосных сред 2 = 0, при этом Таким образом, продольное волновое число поверхностной волны всегда должно быть больше указанных значений, что, в свою очередь, приведёт к выполнению необходимого условия существования поверхностной волны. Со стороны максимальных значений ограничение происходит тогда, когда собственные поля анизотропной среды становятся ортогональными, т.е. их интерференция невозможна. Вычислить , при которой это происходит, можно путём приравнивая к нулю скалярного произведения амплитуд собственных векторов напряжённости электрического поля (9) анизотропной среды. Произведя указанные вычисления, получим: Для одноосных сред max = . При этом значении o = e (см. рис. 2a). И для двуосных сред

Об авторах

Олег Николаевич Бикеев

Российский университет дружбы народов

Email: bickejev@gmail.com
Кафедра прикладной физики ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, Россия, 117198

Леонид Антонович Севастьянов

Российский университет дружбы народов

Email: sevast@sci.pfu.edu.ru
Кафедра прикладной информатики и теории вероятностей ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, Россия, 117198

Список литературы