О применении метода М.Н. Лагутинского к интегрированию дифференциальных уравнений 1-го порядка. Часть 2. Интегрирование в квадратурах

Полный текст

Введение В первой части настоящей статьи был дан обзор основных понятий метода М.Н. Лагутинского [2-10] и представлен пакет Lagutinski [11] под Sage [1]. Во второй части дан отчёт об использовании метода Лагутинского для интегрирования дифференциальных уравнений 1-го порядка в символьном виде и тестировании названного пакета этого пакета на уравнениях, взятых из задачника А. Ф. Филиппова [12]. 1. Многочлены Дарбу Определение 1. Многочленом Дарбу, или частным интегралом дифференцирования , называют такой многочлен , производная которого делится на нацело. Если многочлен Дарбу разлагается на множители, то его сомножители тоже являются многочленами Дарбу [13]. Задача 1 (об отыскании многочлена Дарбу). Для заданной тройки , , отыскать все многочлены Дарбу, порядок которых не превосходит заданного числа Теорема 1 (М. Н. Лагутинского, 1911). Если порядок многочлена Дарбу не превосходит , то определитель ∆ или равен нулю или делится на этот многочлен Дарбу нацело. Если ∆ равен нулю тождественно, то в силу теоремы Лагутинского дифференцирование допускает рациональный интеграл, а следовательно, и бесконечное число многочленов Дарбу. При небольших порядках можно прямо вычислить определитель и разложить его на множители. Пример 1. Все линейные относительно и многочлены Дарбу дифференцирования кольца = Q[, ] являются линейными множителями определителя ∆3. sage: R.<x,y> = PolynomialRing(QQ, 2) sage: D=lambda phi: y*(x+1)*diff(phi,x)+(y^2+x+2)*diff(phi,y) sage: B= sorted(((1+x+y)^30).monomials(),reverse=0) sage: load("lagutinski.sage") None sage: lagutinski_det(R,D,B,3).factor() (x + 1) * (x^2 + y^2 + 4*x + 4) Поэтому имеется лишь единственный кандидат на эту роль - многочлен + 1. Непосредственной подстановкой можно проверить, что в данном случае получился многочлен Дарбу: sage: D(x+1).factor() y * (x + 1) При больших и операция вычисления определителя, и факторизация являются затратными. При необходимости факторизацию многочленов большого порядка можно сократить, приняв во внимание следующее наблюдение: если уравнение (1) имеет многочлен Дарбу , порядок которого не превосходит , то все многочлены ∆ , ∆ +1, . . . делятся на нацело. Поэтому можно сначала вычислить наибольший общий делитель ∆ , ∆ +1, а затем среди его простых сомножителей отыскать многочлены Дарбу. Пример 2. Отыщем все многочлены Дарбу до 4-го порядка относительно , дифференцирования sage: D=lambda phi: 3*(x^2-4)*diff(phi,x) +(3+x*y-y^2)*diff(phi,y) sage: gcd(lagutinski_det(R,D,B,5*3),lagutinski_det(R,D,B,5*3+1)).factor() (x 2)^22 * (x + 2)^22 * (y^4 4*x*y 6*y^2 3) * (2*x*y^3 + y^4 + x^2 + 2*x*y + 6*y^2 3) Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что каждый из четырёх получившихся сомножителя, является многочленом Дарбу, см. [13, 14]. 2. Интегрирование в квадратурах 2.1. Интегрируемость в квадратурах Символьное интегрирование остаётся в рамках классической парадигмы интегрирования в квадратурах, восходящей ещё к Лейбницу и до сих пор доминирующей в элементарных курсах дифференциальных уравнений. Формализация этой парадигмы, восходящая к работам Лиувилля [15] и Д. Д. Мордухай-Болтовского [16-18], нуждалась во введении понятия элементарных функций, список которых обычно считают предметом договора [19]. Избавить теорию от упоминая упоминания об элементных функций можно при помощи P-интегралов Вольтерра. Определение 2. Если дифференциальная 1-форма d + d является точной, то выражения lim ∑︁(∆ + ∆) = ∫︁ d + d lim ∏︁(1 + ∆ + ∆) = ∫︀ d+d являются функциями переменных , , которые обозначаются далее как S(d + d) и P(1 + d + d) соответственно. P-интеграл является столь же естественным обобщением произведения, как обычный S-интеграл - обобщением сложения, экспонента - трансцендентная функция, связывающая эти два интеграла. Определение 3. Будем говорить, что зависимость от переменных , можно выразить при помощи квадратур, если можно представить как алгебраическую функцию переменных , и вспомогательных функций 1, . . . , переменных , , каждая из которых выражается при помощи квадратуры из предыдущих: = S ((, 1, . . . , -1)d + (, 1, . . . , -1)d) или = P (1 + (, 1, . . . , -1)d + (, 1, . . . , -1)d) , где , - алгебраические функции своих аргументов. Пример 3. Функция представима при помощи квадратур, поскольку = exp( ln ) = exp ∫︁ (︂ d + ln d)︂ = P [︂1 + d + S (︂ d )︂ · d]︂ . Определение 4. Будем говорить, что дифференциальное уравнение d + d = 0, , ∈ Q[, ], (1) интегрируется при помощи квадратур, если оно имеет однопараметрическое семейство интегральных кривых, заданных уравнением (, -1, . . . , , , ) = 0, левая часть которого является алгебраический функцией , и квадратур 1, . . . , . Задача 2 (об интегрировании в квадратурах). Выяснить, интегрируется ли заданное уравнение (1) в квадратурах; в случае утвердительного ответа выписать эти квадратуры. Теорема 2. Если дифференциальное уравнение (1) интегрируется при помощи конечного числа квадратур, то оно допускает интегрирующий множитель среди P-интегралов вида = P(1 + d + d) = ∫︀ d+d , (2) где d + d - точная дифференциальная форма, коэффициенты и принадлежат полю Q(, ). Эта теорема может быть доказана элементарными средствами времён Лиувилля и представляет собой вариацию на тему теоремы об интегрирующем множителе, доказанной М. Зингером [20]; сама возможность элементарного доказательства теоремы Зингера была отмечена в [21]. Теорема 3. Дифференциальное уравнение (1) интегрируется при помощи конечного числа квадратур, в том и только в том случае, когда дифференцирование кольца Q[, , ] допускает многочлен Дарбу , линейный относительно . Зная один такой многочлен, можно найти и из СЛАУ и вычислить интегрирующий множитель по формуле (2). Теорема 3 сводит исследование интегрируемости дифференциального уравнения в квадратурах к задаче об отыскании многочленов Дарбу. Задача 3 (об отыскании многочлена Дарбу). Для заданной тройки , , отыскать все неприводимые многочлены Дарбу. Эта задача, однако, отличается от решённой выше задачи 1 тем, что в ней не задана граница для порядка. В настоящее время не известны алгоритмы решения этой задачи даже для случая = Q[, ] [13]. Метод Лагутинского позволяет легко отыскивать все многочлены Дарбу, являющиеся линейными комбинациями первых из набора мономов 1, , , , , , . . . , линейных по . Функция lagutinski_uv(R,p,q,N) из пакета Lagutinski отыскивает все такие многочлены и, если такие многочлены нашлись при заданном , возвращает и . Пример 4. Рассмотрим уравнение Бернулли Имеем sage: R.<x,y,v> = PolynomialRing(QQ,3) sage: lagutinski_uv(R,(x+y^2),-y,2) [[-2, 0]] Отсюда и ответ даётся квадратурой 2.2. Интегрирование тестовых задач Задавшись на удачу числом , попытаемся проинтегрировать уравнения № 301-331 из задачника А.Ф. Филиппова. Среди этих уравнений 20 имеют вид (1), 18 из 20 уравнений интегрируются при = 4 ÷ 5. Замечание 1. Все упомянутые задачи интегрируются в элементарных функциях и поэтому в теории должны просто решаться по алгоритму Преля-Зингера [13]. Этот алгоритм и некоторые его обобщения реализованы в пакете Lsolver [22, 23] под Maple, обсуждение его возможностей выходит за рамки настоящей статьи. Пример 5. Уравнение № 308 интегрируется при = 5 2′ = ( + ). sage: R.<x,y,v> = PolynomialRing(QQ,3) sage: lagutinski_uv(R,-y*(x+y),x^2,5) [[(-1)/x, (-2)/y]] и ответ даётся квадратурой которая в данном случае берётся в элементарных функциях. Оба оставшихся номера интегрируются при большем и приметны тем, что определители Лагутинского 13-го порядка для них обращаются в ноль, поэтому имеется бесконечно много многочленов Дарбу, а следовательно и вариантов для . Пример 6. Уравнение № 327 В этом примере определители считаются очень быстро и ответ получается при = 12. sage: R.<x,y,v> = PolynomialRing(QQ,3) sage: lagutinski_uv(R,2*x-y,2*y+x,12) [[(-y)/(x^2 + y^2), x/(x^2 + y^2)], [(2*x 3*y)/(2*x^2 + 2*y^2), (3*x + 2*y)/(2*x^2 + 2*y^2)]] 2.3. Практическое определение порядка Проделанный вычислительный эксперимент подсказывает, что для интегрирования заданного дифференциального уравнения как правило достаточно взять очень небольшое = 4 5. Если заранее не известно, что уравнение интегрируется в квадратурах, то возникает вопрос о том, стоит ли тратить ресурсы на повышение . Для задачи Дебона был указан быстрый практический способ подбора - вычисление определителя Лагутинского ∆ в случайной точке. Та же идея может быть использована и при подборе при отыскании линейных по многочленов Дарбу. Численные эксперименты указывают на то, что в общем случае последовательность определителей Лагутинского ∆ , ∆ +1, . . . не имеет общего делителя, зависящего от . В особом же случае, когда имеется многочлен Дарбу -го порядка, все эти определители делятся на него нацело в силу теоремы 1. Если взять две случайные точки (0, 0, 0) и (0, 0, 1) и вычислить значения ∆ , ∆ +1, ∆ +2 в этих двух точках, то разложения на множители gcd(∆ (0, 0, 0), ∆ +1(0, 0, 0), . . . ), gcd(∆ (0, 0, 1), ∆ +1(0, 0, 1), . . . ) в общем случае совпадают, в особом же случае появятся различные множители. Функция lagutinski_uv_random(R,p,q,N) возвращает разложение такой пары чисел. Трудность идентификации особого случая состоит в том, что степени чисел 2, 3 и 5, которые появляются при факторизации, могут меняться и в общем случае. Пример 7. Рассмотрим дифференциальное уравнение ( + 1)d - ( - - + )d = 0, которое имеет интегрирующий множитель найденный в [22] из тех соображений, что + - многочлен Дарбу. Для нашего подхода уравнение очень трудное, поскольку является многочленом, содержащим третьи степени и , то есть ≃ 20. При = 13 первое испытание даёт sage: R.<x,y,v> = PolynomialRing(QQ,3) sage: lagutinski_uv_random(R,(x + 1)*y, (x x*y y^2 + x^2),13) [2^270 * 3^5 * 5^77 * 11^20 * 139^13 * 479^72, 2^271 * 3^5 * 5^77 * 11^19 * 139^13 * 479^72] Хорошо видно, что оба числа являются произведениями одних и тех же простых чисел, в данном случае 2, 3, 5, 11, 139 и 479. Второе испытание при том же даёт sage: lagutinski_uv_random(R,(x + 1)*y, (x x*y y^2 + x^2),13) [2^251 * 3^452 * 5^3 * 7^72 * 41^19, 2^256 * 3^452 * 5^3 * 7^72 * 41^19] Опять оба числа являются произведениями одних и тех же простых чисел. То же явление наблюдается вплоть до = 17: sage: lagutinski_uv_random(R,(x + 1)*y, (x x*y y^2 + x^2),17) [2^237 * 3^51 * 5^292 * 7^163 * 31^129, 2^237 * 3^49 * 5^292 * 7^163 * 11 * 31^129] sage: lagutinski_uv_random(R,(x + 1)*y, (x x*y y^2 + x^2),17) [2^424 * 3^17 * 5^260 * 11^129 * 23^21 * 31^129, 2^424 * 3^30 * 5^260 * 11^129 * 23^21 * 31^129] Ситуация меняется при = 18: sage: lagutinski_uv_random(R,(x + 1)*y, (x x*y y^2 + x^2),18) [2^556 * 3^270 * 5 * 7^76 * 109^146 * 39023, 2^540 * 3^270 * 7^76 * 109^146 * 331 * 8821] Эти числа не являются произведениями одних и тех же простых чисел, первое имеет множитель 39023, а второе - 331 8821. Повторное испытание приводит к другим числам, но сохраняет само явление: sage: lagutinski_uv_random(R,(x + 1)*y, (x x*y y^2 + x^2),18) [2^403 * 3^14 * 43^23 * 47^38 * 5003^145 * 195359, 2^407 * 3^12 * 43^23 * 47^38 * 5003^145 * 35863] Поэтому вероятно ∆17 и ∆18 имеют общий множитель, зависящий от . Это означает, что многочлен Дарбу имеет смысл искать при = 18. Было бы крайне желательно выяснить геометрический смысл числа и заменить задачу 2 на задачу с заданным . 2.4. Применение теории интегрирующего множителя к решению задачи Дебона В тех случаях, когда решение задачи Дебона требует вычисления определителей слишком большого порядка, вычисление интегрирующего множителя часто не представляет никакого труда. Пример 8. Рассмотрим уравнение (54 + )d + (34 + 2)d = 0. Выясним, допускает ли это уравнение интегральные кривые порядка 9 или меньше: sage: R.<x,y> = PolynomialRing(QQ,2) sage: D=lambda phi: (3*x^4+2*y)*x*diff(phi,x) -(5*x^4+y)*y*diff(phi,y) sage: B= sorted(((1+x+y)^30).monomials(),reverse=0) sage: lagutinski_det_random(R,D,B,55)==0 False Раз определитель не равен нулю тождественно, то такие интегральные кривые не допускаются. Попытаемся выяснить, интегрируется ли это уравнение в квадратурах: sage: R.<x,y,v> = PolynomialRing(QQ,3) sage: lagutinski_uv(R,(5*x^4+y)*y,(3*x^4+2*y)*x,6) [[10/7/x, 20/(7*y)]] Отсюда и поэтому Следовательно, уравнение интегральных кривых даётся квадратурой Эта квадратура берётся в радикалах. Теоретически рационализация должна привести к рациональному интегралу, однако выполнить её на практике весьма непросто. Заключение Метод Лагутинского и основанные на нем алгоритмы дают возможность решать многие типы дифференциальных уравнений в алгебраических функциях и в квадратурах. Среди этих алгоритмов встречаются и вычислительно лёгкие, и вычислительно трудные. К числу лёгких, например, относится алгоритм, который позволяет выяснить, являются ли интегральные кривые заданного дифференциального уравнения алгебраическими кривыми заданного порядка. Все эти алгоритмы можно с успехом применять в системах символьных вычислений.

Об авторах

Михаил Дмитриевич Малых

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Email: malykhmd@yandex.ru
Факультет наук о материалах; Кафедра прикладной информатики и теории вероятностей Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, Россия, 117198 Ленинские Горы, Корпус «Б», Москва, Россия, 119991

Список литературы