Использование геометризации уравнений Максвелла при расчёте оптических приборов

Полный текст

1. Введение Аппарат дифференциальной геометрии являлся основным языком физики XX-го века. Его базовые элементы развивались в рамках общей теории относительности. Возникает желание применить этот развитый и к другим областям физики, в частности к оптике. Первые попытки применения методов дифференциальной геометрии в электродинамике следует отнести к публикациям И. Е. Тамма [1-3]. В 1960 году Е. Плебаньский предложил метод геометризации материальных уравнений электромагнитного поля [4-7], ставший классическим. Все последующие работы либо использовали его, либо пытались немного подправить, не меняя идеологии [8]. К сожалению, в статье Плебаньского [4] нет никакого вывода формул, а идеология вывода также не выражена явно. Кроме того, методика Плебаньского выглядит скорее как хитрый трюк. Автор постарался выполнить геометризацию уравнений Максвелла более формально. 2. Обозначения и соглашения • Будем использовать нотацию абстрактных индексов [9]. В данной нотации тензор как целостный объект обозначается просто индексом (например, xi), компоненты обозначаются подчёркнутым индексом (например, xi). • Будем придерживаться следующих соглашений. Греческие индексы (a, ) будут относиться к четырёхмерному пространству и в компонентном виде будут иметь следующие значения: a = 0, 3. Латинские индексы из середины алфавита (i, , k) будут относиться к трёхмерному пространству и в компонентном виде будут иметь следующие значения: i = 1, 3. • Запятой в индексе обозначается частная производная по соответствующей координате (,i := ∂i ); точкой с запятой - ковариантная производная (;i := i). • Для записи уравнений электродинамики в работе используется система СГС симметричная [10]. 3. Представления уравнений Максвелла Будем использовать запись уравнений Максвелла в криволинейных координатах. Более подробное описание дано в статьях [11-15]. Уравнения Максвелла в 3-х мерной форме имеют вид: где eik - альтернирующий тензор. Запишем уравнение Максвелла через тензоры электромагнитного поля Fa и Ga [16-18]: где тензоры Fa и Ga имеют следующие компоненты Здесь Ei, i - компоненты векторов напряжённости электрического и магнитного полей соответственно; Di, i - компоненты векторов электрической и магнитной индукции соответственно. Запишем уравнения (2) и (3) через дифференциальные формы в формализме расслоенных пространств. Будем рассматривать расслоение (5) где = M 4 - четырёхмерное пространство. При этом мы не делаем предположение о метрике данного пространства. Зададим F (2-форма), G (бивектор) и (вектор): Тогда уравнения (2) и (3) примут вид: Здесь d = ♯-1 d ♯ - дивергенция, ♯ : Λk Λn-k задаёт двойственность Пуанкаре. При этом Fa и Ga имеют смысл кривизны в кокасательном ( *) и касательном ( ) расслоениях. Связь между этими величинами задаётся следующим образом: (9) Тогда уравнение (8) примет вид: В линейном случае соотношение (9) можно задать как В этом случае уравнение (8) примет вид: Будем считать, что l задаёт на некоторую эффективную метрику. Тензор проницаемостей Будем считать, что отображение l : Λ2 Λ2 линейное и локальное. Тогда его можно представить в следующем виде: где lagd - тензор проницаемостей, содержащий информацию как об диэлектрической и магнитной проницаемостях, так и об электромагнитной связи [1, 3]. Из (13) видно, что lagd имеет следующую симметрию: Для уточнения симметрии, тензор lagd можно представить в следующем виде [19-22]: Очевидно, что lagd имеет 36 независимых компонент, (1)lagd имеет 20 независимых компонент, (2)lagd имеет 15 независимых компонент, (3)lagd имеет 1 независимую компоненту. Далее будем рассматривать только часть (1)lagd . Запишем материальные уравнения: где i и i - тензоры диэлектрической и магнитной проницаемостей, (1)gi и (2)gi - перекрёстные члены. Учитывая структуру тензоров Fa и Ga (4), а также уравнения связи (16), запишем 5. Линейная локальная геометризация уравнений Максвелла Плебаньским была предложена простейшая геометризация уравнений Максвелла [4, 5, 23, 24]. Несмотря на некоторые недостатки, этот метод нашёл применение, например, в трансформационной оптике, где соотношение i = i является желательным [7, 25, 26]. Основная идея геометризации по Плебаньскому заключается в следующем: • Записать уравнения Максвелла в среде в пространстве Минковского. • Записать вакуумные уравнения Максвелла в эффективном римановом пространстве. • Приравнять соответствующие члены уравнений. • В результате мы получим выражение диэлектрической и магнитной проницаемостей через геометрические объекты. Однако данный подход к геометризации выглядит скорее как трюк. Автор постарался выполнить данные вычисления более формально. 5.1. Вспомогательные соотношения для метрического тензора Нам понадобятся простые соотношения для метрического тензора. Выражение (19) приводит к следующим частным соотношениям: Соотношение (20) перепишем в виде Подставляя (22) в (21), получаем: Это соотношение будет использовано позднее для упрощения записи итоговых уравнений. • Уравнения связи для движущихся сред Минковским были выведены уравнения связи для изотропных движущихся сред [16, 27] (уравнения Минковского для движущихся сред). Пусть ua - 4-скорость среды. Считая диэлектрическую и магнитную проницаемости и скалярами, можно записать В трёхмерном виде уравнения (24) принимают следующий вид: Тамм расширил уравнения (25) для анизотропного случая [1, 3], а именно, считая, что диэлектрическая и магнитная проницаемости имеют вид и вектор скорости ui системы отсчёта - параллельным одной из главных осей анизотропии. Тогда уравнения Минковского для движущихся сред приобретут следующий вид: • Общая геометризация Проведём геометризацию уравнений Максвелла. Введём эффективную метрику в ga . Тогда запишем лагранжиан электромагнитного поля в виде лагранжиана Янга-Миллса: Построим тензор lagd следующим образом: Тогда уравнение (13) примет следующий вид: Для наглядности распишем по компонентам: На основании (17) получим: На основании (17) с учётом соотношения (23) получим: Из (28) можно формально выписать выражение для диэлектрической проницаемости: При этом геометрический смысл второго члена в (28) нуждается в дальнейшем уточнении. Из (29) можно формально выписать выражение для магнитной проницаемости: Таким образом, геометризованные уравнения связи координатах имеют следующий вид: Леонгард предложил интерпретировать перекрёстный член в уравнениях (32) как скорость движения геометризованной системы отсчёта [6]. Действительно, на основании (25) уравнения (32) можно переписать в виде: где ui - трёхмерная скорость движения системы отсчёта. 6. Заключение Автор предложил формальный подход к проблеме геометризации уравнений электромагнитного поля. В качестве иллюстрации представлен метод локальной линейной геометризация уравнений Максвелла. Следует отметить, что данный метод нельзя считать полностью удовлетворительным. Действительно, полный тензор проницаемостей lagd имеет 36 независимых компонент. И даже его основная часть, тензор (1)lagd , имеет 20 независимых компонент. В то время как риманов метрический тензор имеет только 10 независимых компонент. Также следует сказать, что предложенный метод отличается по идеологии и результатам от метода Плебаньского.

Об авторах

Дмитрий Сергеевич Кулябов

Российский университет дружбы народов

Email: ds@sci.pfu.edu.ru
Кафедра прикладной информатики и теории вероятностей; Лаборатория информационных технологий Объединённый институт ядерных исследований ул. Жолио-Кюри, д. 6, Дубна, Московская область, Россия, 141980 ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, Россия, 117198

Список литературы