Модель соты LTE с межмашинным трафиком в виде мультисервисной системы массового обслуживания с эластичными и потоковыми заявками и марковским входящим потоком

Полный текст

1. Введение В последние годы эволюция сетей сотовой подвижной связи была направлена в первую очередь на повышение скорости передачи данных и обеспечение высокого качества обслуживания (quality of service, QoS), что связано прежде всего с распро- странением мультимедийных и интерактивных приложений. Однако расширение межмашинных коммуникаций (machine to machine, M2M), влекущее за собой разви- тие Интернета вещей (ИВ; Internet of Things, IoT), предъявляет к сетям иные, во многом противоположные требования, обусловленные характеристиками трафика, генерируемого приложениями данного типа, а также ограничениями на передающие устройства (дешевизна, долгий срок службы элементов питания). Интернет вещей - это не просто совокупность разнообразных приборов и дат- чиков, связанных между собой проводными и беспроводными каналами связи и подключенных к сети Интернет. Под ИВ понимают глобальную инфокоммуникацион- ную инфраструктуру с возможностями автоматического конфигурирования, которая объединяет физические и виртуальные “вещи”, обладающие не только физически- ми свойствами, но и виртуальной субъектностью, и таким образом обеспечивает более тесную интеграцию реального и виртуального миров, где взаимодействие осу- ществляется как между людьми, так и между устройствами. Предполагается, что в Статья поступила в редакцию 30 октября 2016 г. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда и DST (Индия) (грант № 16-49-02021) в рамках совместного научно-исследовательского проекта Института проблем управ- ления им. В.А. Трапезникова Российской академии наук и CMS Колледжа Коттаям. будущем “вещи” станут активными участниками хозяйственной, социальной и инфор- мационной деятельности, смогут взаимодействовать между собой и с окружающим миром путем обмена информацией об окружающей среде, автономного реагирова- ния на события реального мира и влияния на них, выполняя действия или запуская процессы в том числе и без прямого участия человека [1]. Существующие и потенциальные приложения ИВ весьма разнообразны, однако по требованиям к устройствам и характеристикам трафика их разделяют на две круп- ные категории: массовые (также называемые massive MachineType Communications, mMTC) и критические. Данные категории и сферы применения соответствующих приложений и устройств представлены в табл. 1. Перечисленные в табл. 1 характе- ристики обозначают, условно говоря, границы шкалы, на которой можно разместить самые различные приложения ИВ. Исходя из известных на сегодняшний день техно- логий, можно предположить, что приложения массового типа будут обеспечивать существенно большее число подключений по сравнению с критическими приложе- ниями, однако последние смогут приносить более высокий доход оператору сети связи. Основные категории приложений ИВ Таблица 1 Тип приложений Массовый Критический Характеристики устройств и трафика их эксплуатации; Примеры сфер при- менения удаленную хирургию; § низкая стоимость устройств и § низкое энергопотребление; § малый объем передаваемых дан- ных; § чрезвычайно большое количе- ство устройств § высочайшая надежность; § крайне низкая задержка пе- редачи данных; § крайне высокая готовность § «умные» здания и города; § «умное» сельское хозяйство; § коммунальное хозяйство (счет- чики, освещение и т. п.); § логистика и отслеживание гру- зов; § носимые устройства и др. § телемедицина, включая § безопасность дорожного движения и беспилотный транспорт; § робототехника и др. Концепция ИВ была официально представлена отрасли Международным Союзом Электросвязи еще в 2005 г. в одноименном докладе [2], однако, для того чтобы это направление стало полноценной “третьей волной” в развитии сети Интернет (“второй волной” принято считать распространение доступа в Интернет с мобильных устройств), необходимо развертывание сетевой и информационной инфраструктуры, которая могла бы поддержать лавинообразный рост M2M-соединений и обеспечить необходимые функции управления. Весьма вероятно, что такая инфраструктура не будет однородной, по крайней мере на начальном этапе развития ИВ. Уже сегодня на место в ней претендуют как широко известные, так и новые, разработанные специально для обслуживания массового ИВ технологии и протоколы сетевого доступа, среди которых стандарты проводной связи (Ethernet, оптоволоконные сети доступа, BACnet и др.), стандарты сотовой подвижной связи (GPRS, EDGE, HSPA, LTE и LTE Advanced), технологии ячеистых (mesh) сетей (например, ZigBee), технологии энергоэффективных сетей дальнего радиуса действия (low-power wide- area network, LPWAN), включая SigFox и LoRa, стандарты сетей связи через линии электропередачи (PRIME, G3) и стандарты беспроводных локальных и городских вычислительных сетей (Wi-Fi и WiMAX) [3]. Стандарты сетей сотовой подвижной связи занимают в этом ряду особое ме- сто, поскольку обладают такими преимуществами, как широчайшая зона покрытия, устойчивое положение операторов на рынке услуг связи и поддержка производите- лей оборудования, возможность обслуживать широкий спектр ИВ-приложений, не ограничиваясь простейшими передающими устройствами, управление качеством об- служивания (QoS), управление доступом и безопасность. При работе над вышедшем в середине 2016 г. релизом 13 спецификаций LTE (LTE Advanced Pro), межмашин- ным коммуникациям и ИВ было уделено особое внимание. За очень короткое время 3GPP подготовил вошедший в этот релиз специальный стандарт для обслуживания межмашинных соединений массового типа NB-IoT (Narrowband Internet of Things - узкополосный Интернет вещей), позволяющий оператору сети LTE использовать имеющуюся инфраструктуру для развертывания сети доступа для простейших ста- ционарных ИВ-устройств (скорость передачи данных до 200 кбит/с) и призванный составить конкуренцию быстро распространяющимся технологиям LPWAN SigFox и LoRa. Кроме того, в арсенале 3GPP для обслуживания M2M-трафика массово- го типа имеются технологии EC-GSM-IoT (Extended Coverage GSM for IoT) и LTE Cat-M1 (также известная как enhanced Machine-Type-Communications, eMTC, или LTE-M), первая из которых предназначена для развертывания сети массового ИВ на сети GSM, тогда как вторая позволяет обслуживать M2M-устройства с макси- мальной скоростью передачи 1 Мбит/с и ограниченной мобильностью в сотах LTE. Важнейшую роль в обеспечении межмашинного взаимодействия играет изначально предназначенный для обслуживания основного трафика LTE стандарт 3GPP LTE Cat 1. Он применяется для подключения M2M-устройств, которым необходима пол- ная мобильность и/или передача данных со скоростью более 1 Мбит/с. К таким устройствам относятся носимые устройства, устройства, осуществляющие передачу видео или аудио, устройства, которыми оснащен автотранспорт и др. На данный момент не существует общепринятого подхода к обслуживанию M2M- устройств в сетях связи общего пользования, в том числе оптимального метода для распределения ограниченного количества радиоресурсов между пользователями услуг связи и большим количеством подобных устройств. Однако учитывая большой рыночный потенциал данного сегмента, операторы совместно с международными стандартизующими организациями формулируют широкий класс задач планирова- ния радиоресурсов для эффективного обслуживания трафика ИВ [4-9]. Общими для большинства исследований являются такие характеристики М2М-трафика, как малый размер передаваемых блоков данных и большое количество подключаемых устройств. Значительное число работ посвящено исследованию задачи предотвраще- ния перегрузок на базовой станции беспроводной сети последующего поколения с М2М-трафиком [4, 6, 10, 11]. Результаты подобных исследований позволяют оператору принять решение использовать ту или иную схему выделения доступных частотно- временных ресурсов для передачи блоков данных от М2М-устройств [8, 12, 13]. Схема динамического распределения радиоресурсов соты сети LTE, когда для обслужива- ния трафика межмашинного взаимодействия выделяются фиксированные диапазоны пропускной способности, а остальные ресурсы доступны для пользователей телефо- нии, предложена в [14]. Здесь же в терминах математической теории телетрафика построена модель такой соты и рассмотрены ее ветоятностно-временные характери- стики, для того чтобы оценить эффективность предложенной схемы для обеспечения требований к качеству обслуживания. Однако в предложенной модели поступление запросов на передачу блоков данных от М2М-устройств для простоты моделируется с помощью пуассоновского входящего потока. В настоящей работе также рассматрива- ется сота LTE с трафиком телефонии и М2М, однако, в отличие от [14], поступление запросов на передачу М2М-трафика описывается с помощью более общего марков- ского входящего потока (Markovian Arrival Process, MAP). 2. Постановка задачи Будем рассматривать соту сети LTE, в которой предоставляется услуга теле- фонии (или любая другая услуга, требующая широкополосной передачи потоков данных), а также передаются блоки данных М2М-устройств. Перед тем как перейти к построению математической модели, сделаем ряд упрощающих предположений относительно функционирования рассматриваемой соты сети (см. рис. 1). Будем предполагать, что все пользователи услуги телефонии и М2М-устройства имеют одинаковое значение отношения сигнал/шум и не меняют своего положения относи- тельно базовой станции. Таким образом, устанавливаемые радиоканалы будут иметь одинаковые характеристики, и скорость передачи данных будет зависеть только от количества выделенных единиц канального ресурса. Под единицей канального ресурса (ЕКР) подразумевается некая условная величина, которая соответствует ми- нимально допустимой скорости передачи данных (например, в бит/с) для заданного количества выделенных физических ресурсных блоков. Будем считать, что пиковая пропускная способность соты составляет ЕКР. Пользователи телефонии РБ 1 РБ 2 РБ 3 f . . .… Условная единица канального ресурса ЕКР 1 ЕКР 2 ЕКР 3 ЕКР 5 ЕКР 6 . .… . М2М-устройства Базовая станция LTE РБ N-1 РБ N t ЕКР С-2 ЕКР С-1 ЕКР С [бит/с] Рис. 1. Упрощающие предположения и условная единица канального ресурса С ростом интенсивности предложенной нагрузки планировщик на базовой станции сети LTE должен определять оптимальный размер диапазона радиоресурсов, исходя из установленных оператором сети ограничений на качество обслуживания, напри- мер вероятность потерь запросов пользователей телефонии и среднее время передачи блоков данных М2М-устройств. Поскольку зачастую блоки М2М-данных имеют крайне малый размер и поступают от большого количества устройств, оказывается нецелесообразно выделять для передачи данных от одного М2М-устройства целый ресурсный блок (РБ, диапазон частот), который является минимальным ресурсным элементом, выделяемым планировщиком базовой станции LTE [15]. В [6, 10, 12] рас- сматривается выделение одного ресурсного блока для передачи данных от множества М2М-устройств. В частности, в исследовании [12] предложена модель обслуживания М2М-устройств с помощью искусственно (виртуально) выделенных поднесущих на доступной частотной емкости соты LTE. Для того чтобы сети беспроводной связи последующих поколений стали эффек- тивным механизмом обслуживания М2М-трафика необходимо разработать такие методы распределения радиоресурсов, которые обеспечат минимальное влияние на качество обслуживания традиционных абонентов, приносящих пока основной до- ход операторам сетей связи. Поэтому будем считать, что часть ЕКР соты доступна только трафику телефонии и не может использоваться для передачи данных от М2М-устройств. 3. Система массового обслуживания Функционирование такой соты LTE может быть описано в терминах теории те- летрафика с помощью мультисервисной системы массового обслуживании (СМО) с потоковыми заявками, которые соответствуют вызовам телефонии, и эластичны- ми заявками, соответствующими передаче блоков данных М2М-устройств. Пусть на СМО, состоящую из приборов и не имеющую мест для ожидания, поступают за- явки двух типов: потоковые и эластичные (рис. 2). Эластичным заявкам доступно :( приборов и они обслуживаются в соответствии с дисциплиной справедливого разделения процессора (Egalitarian Processor Sharing, EPS [16]), однако для обслу- живания одной эластичной заявки в каждый момент времени требуется не менее приборов. При этом пусть приборы для обслуживания эластичных заявок выделя- ются блоками по ;;? приборов. Потоковым заявкам в каждый момент времени доступны все приборы системы, не вошедшие в блоки приборов, выделенные для обслуживания эластичных заявок. Эластичные заявки Q0 Q1 , , c ∙ c () Потоковые заявки , , ∙ (, ) Рис. 2. СМО с потоковыми и эластичными заявками ≥ ≥ Положим, что входящий поток эластичных заявок является MAP-потоком. Поток эластичных заявок поступает на систему от источника, который может находиться в одном из ��-состояний и характеризуется двумя квадратными матрицами 0 и 1 порядка , 1 0, 0 + 1 = , где матрица интенсивностей переходов цепи Маркова описывающей состояния источника [17, 18]. Мы предполагаем, что матрица 1 отлична от нулевой, а матрица неприводима. Обозначим вектор-строку стационарных вероятностей состояний источника и 1 вектор-столбец из единиц. Тогда интенсивность поступающего потока эластичных заявок дается формулой = qQ11. Пусть длины эластичных заявок распределены по экспоненциальному закону с параметром . Напомним, что в системе EPS с одним прибором остаточная ⌊ ⌋ {︀ ∈ }︀ ⌊ ⌋ {︀ ∈ }︀ длина заявки - это количество работы по ее обслуживанию с единичной скоростью, измеряемое в единицах времени [16]. При этом заявка обслуживается с переменной скоростью до тех пор, пока ее остаточная длина не станет равной нулю. = ⌊/⌋ = max {︀ ∈ : :( }︀ таких блоков, максимальное число эластичных = ⌊/⌋ = max {︀ ∈ : :( }︀ таких блоков, максимальное число эластичных Обозначим = / = max : :( максимальное число эластичных заявок, которые могут быть одновременно обслужены одним блоком приборов. По- скольку для обслуживания эластичных заявок может быть выделено самое большое · ⌈ ⌉ · { ∈ } · ⌈ ⌉ · { ∈ } заявок, которые могут быть одновременно обслужены СМО, равняется = MS . Если в системе находится эластичных заявок, то общее число обслуживающих их приборов равно () = / = min : ;;? / , причем ресурс этих приборов равномерно распределяется между всеми эластичными заявками, то есть каждая из них обслуживается () приборами. Пусть в системе обслуживаются эластичных заявок. Тогда при поступлении в систему ( + 1)-й эластичной заявки происходит следующее: 1. Если на момент поступления ( + 1) = (), то заявка принимается на обслу- живание без выделения дополнительных приборов. При этом ресурс приборов перераспределяется поровну между ( + 1) заявками (каждая эластичная заяв- ка обслуживается (+1) = () приборами вместо () ; скорость обслуживания падает). +1 +1 2. Если на момент поступления заявки ( + 1) > (), ( + 1) :( и среди доступных эластичным заявкам приборов есть свободных приборов, заявка принимается на обслуживание с выделением дополнительно блока из приборов. При этом скорость обслуживания всех эластичных заявок возрастет, так как они дополнительно получат свободный ресурс нового блока. 3. В противном случае (выделение блока требуется, но свободных приборов не достаточно) заявка будет потеряна. Если эластичная заявка была принята на обслуживание, она будет находиться в системе до тех пор, пока ее остаточная длина не станет равной нулю, после чего покинет систему. Пусть в системе находятся эластичных заявок. Тогда в момент ухода любой эластичной заявки приборы перераспределяются между оставшимися заявками этого типа следующим образом: - - - - 1. Если ( 1) = () (оставшиеся заявки нельзя «утрамбовать» в меньшее чис- ло блоков), приборы не освобождаются, а перераспределяются поровну между оставшимися эластичными заявками, скорость обслуживания которых увеличи- вается. 2. Если ( 1) < (), то блок из приборов высвобождается, а оставшиеся эла- - - стичные заявки занимают ( 1) приборов, деля их ресурс поровну (скорость обслуживания падает). Для обслуживания одной потоковой заявки требуется приборов. Предполагается, что поступающие заявки этого типа образуют пуассоновский поток с интенсивностью ⌊ - ⌋ ⌊ - ⌋ - - и время занятия ими приборов распределено по экспоненциальному закону с параметром . Пусть в системе обслуживается эластичных заявок и потоковых заявок. Тогда для обслуживания потоковых заявок доступны С () приборов, которые могут обслужить максимум () = ( ())/ потоковых заявок. При поступлении в систему потоковая заявка будет принята на обслуживание, если на момент ее поступления свободны хотя бы приборов. Заявка занимает приборов на время своего обслуживания, после чего покидает систему ( приборов при этом высвобождаются). Если при поступлении потоковой заявки + 1 > (), значит в системе меньше чем свободных приборов и поступившая потоковая заявка будет потеряна. Добавим, что в данных обозначениях поступившая эластичная заявка будет потеряна, если в момент ее поступления > ( + 1). 1. Стационарное распределение вероятностей состояний СМО и ее стационарные характеристики Обозначим () число обслуживаемых СМО эластичных заявок, () - число пото- ковых заявок, и () - состояние источника в момент времени ;;? 0. Тогда функциони- рование СМО описывает составной марковский процесс () = ((), (), ()), ;;? 0, с пространством состояний = {(, , )| ;;? 0, ;;? 0, :( , ()+ :( , 1 :( :( }. ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ Матрица интенсивностей переходов A этого процесса является блочной трехдиа- гональной: D0 Λ0 ⎥ ⎥ ⎢⎢M1 D1 Λ1 ⎥ 2 2 A = ⎢⎢⎢⎢ M . . . . . . ⎢⎣ ⎢⎣ . D . D ⎥⎦ ⎥⎦ . . -1 Λ-1 ⎥⎥⎥⎥ . (1) M D В этой матрице блок, находящийся на пересечении ��-й блочной строки и -го блочного столбца, сам является блочной матрицей, имеющей блочный размер ( () + × × 1) ( () + 1) и составленной из квадратных матриц порядка . Диагональные блоки матрицы A имеют блочную трехдиагональную структуру: ⎡ ⎡ ⎥ ⎥ D = F,0 I ⎢⎢⎢ I F,1 I ⎥⎥⎤ . . . . . . ⎢⎢⎢ . . . ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢ = ⎢⎢⎢⎢⎢ ⎢⎣ ( + 1)I F, (+1) I ( ( + 1) + 1)I G, (+1)+1 I . . . . . . . . . ( () - 1)I G, ()-1 I ()I G, () 0 :( < , ⎥⎥⎥⎥⎥ , ⎥⎦ ⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎥⎥ ⎡G,0 I ⎤ где D = ⎢⎢⎢⎢⎢ I G,1 I ⎢⎣ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎥⎦ . . . . . . . . . ( () - 1)I G, ()-1 I ()I G, () ⎥⎥⎥⎥⎥ , F = Q0 - ( + + ())I, G = Q - ( + + ())I, ̸= (), F () = Q0 - ( () + ())I, G () = Q - ( () + ())I, а внедиагональные блоки матрицы A являются блочными диагональными прямо- угольными матрицами: M = (()I, ..., ()I), Λ = (Q1, ..., Q1). (2) Запишем стационарное распределение вероятностей процесса () в векторном виде, согласованном с разбиением (1) матрицы интенсивностей переходов на блоки: ≤ ≤ ≤ ≤ = (0, 1, ..., ), где = (,0, ,1, ..., , ()), 0 . Учитывая специальный вид поддиагональных блоков матрицы , вектор можно вычислить с помощью алгоритма, предложенного в [19]. Зная стационарное распределение вероятностей, легко вычислить вероятности блокировок потоковых п и эластичных э заявок: ∑︁ ∑︁ п = p =0 , () 1 1, э = -1 ∑︁ ∑︁ =0 () ∑︁ ∑︁ = (+1)+1 p, Q11. Длительности обслуживания эластичных заявок имеют функцию распределения фазового типа, которая характеризуется 1) стационарным распределением ˜ цепи Маркова, вложенной по моментам поступления эластичных заявок, и 2) матрицей интенсивностей переходов ˜ марковского процесса, обрывающегося в момент ухода рассматриваемой эластичной заявки из системы. Поэтому зная стационарное распре- деление ˜ и матрицу ˜, нетрудно вычислить моменты длительностей обслуживания эластичных заявок. Зная стационарное распределение процесса (), стационар- ное распределение ˜ цепи Маркова, вложенной по моментам времени, образующим марковский поток событий, можно найти по известным формулам [17], а матрица ˜ получается из матрицы вычеркиванием первого блочного столбца, первой блочной строки, и умножением в формуле (2) коэффициента () на множитель (1 - 1 ). 2. Заключение Построенная в настоящей работе математическая модель позволяет исследовать распределение радиоресурсов в соте сети LTE, обслуживающей трафик телефонии и межмашинного взаимодействия, в предположении, что ресурсы для пропуска трафика межмашинного взаимодействия выделяются диапазонами фиксированного размера, а поступление запросов на его передачу описывается с помощью марковского входящего потока. References 1. O. Vermesan, et al., Internet of things strategic research roadmap, accessed 30 Oct. 2016 (2011). URL http://www.internet-of-things-research.eu/pdf/IoT_Cluster_ Strategic_Research_Agenda_2011.pdf 2. International Telecommunication Union (November 2005). 3. W. Guibene, K. E. Nolan, M. Y. Kelly, Survey on Clean Slate Cellular-IoT Standard Proposals, in: 2015 IEEE International Conference on Computer and Information Technology. IEEE Computer Society, 2015, pp. 1596-1599. 4. M. Cheng, G. Lin, H. Wei, Overload Control for Machine-Type-Communications in LTE-advanced System, IEEE Communications Magazine 50(6) (2012) 38-45. 5. C.-X. Wang, F. Haider, X. Gao, Y. Y. Xiao-Hu You, D. Yuan, H. Aggoune, H. Haas, S. Fletcher, F. Hepsaydir, Cellular Architecture and Key Technologies for 5G Wireless Communication Networks, IEEE Communications Magazine 52(2) (2014) 122-130. 6. C. Ide, B. Dusza, M. Putzke, C. Mu¨ller, C. Wietfeld, Influence of M2M Communication on the Physical Resource Utilization of LTE, in: Proc. of the 11th Wireless Telecommunications Symposium (WTS 2012). London, 2012, pp. 1-6. 7. S.-Y. Lien, K.-C. Chen, Massive Access Management for QoS Guarantees in 3GPP Machine-to-Machine Communications, IEEE Communications Magazine 15(3) (IEEE Communications Letters) 2011. 8. K. Zheng, F. Hu, W. Wang, W. Xiang, M. Dohler, Radio Resource Allocation in LTE-Advanced Cellular Networks with M2M Communications, IEEE Communications Magazine 50(7) (2012) 184-192. 9. A. E. Koucheryavy, A. Futahi, E. A. Koucheryavy, LTE and Wireless Sensor Networks, Mobile Telecommunications (2012) 38-41In Russian. 10. O. Dementev, O. Galinina, M. Gerasimenko, T. Tirronen, J. Torsner, S. Andreev, Y. Koucheryavy, Analyzing the Overload of 3GPP LTE System by Diverse Classes of Connected-Mode M2M Devices, in: Proc. of the IEEE World Forum on Internet of Things, 2014, pp. 309-312. 11. I. A. Buturlin, Y. V. Gaidamaka, A. K. Samouylov, Utility Function Maximization Problems for Two Cross-Layaer Optimization Algorithms im OFDM Wireless Networks, T-Comm - Telecommunications and Transport (7) (2012) 30-32, in Russian. 12. M. Beale, Future Challenges in Efficiently Supporting M2M in the LTE Standards, in: Proceedings of the 10th Wireless Communications and Networking Conference WCNCW 2012, Paris, 2012, pp. 186-190. 13. S. Y. Shin, D. Triwicaksono, Radio Resource Control Scheme for Machine-to-Machine Communication in LTE Infrastructure, in: Proc. of the 3rd International Conference on ICT Convergence ICTC 2012, Jeju Island, Korea, 2012, pp. 1-6. 14. I. A. Buturlin, I. A. Gudkova, A. V. Chukarin, On Radio Resource Allocation Scheme Model with Fixed Capacities for Machine Type Communications in LTE Network, T-Comm - Telecommunications and Transport (8) (2014) 14-18, in Russian. 15. G. P. Basharin, S. V. Shtatnov, Multiservice Model for Elastic Traffic with Finite Number of Sources, T-Comm - Telecommunications and Transport (7) (2010) 4-7, in Russian. 16. S. F. Yashkov, Mathematical Problems of the Theory of Processor-Sharing Queues, Review of Schience and Technology (Itogi nauki i techniki), Series “Probability theory. Mathematical statistics. Technical Cybernetics” 29 (1990) 3-82, in Russian. 17. V. A. Basharin, G. P.and Naumov, Simple Matrix Description of Peaked and Smooth Traffic and its Applications, in: Proc. of the 3 Int. Seminar on Teletraffic Theory “Fundamentals of Teletraffic Theory”, VINITI, Moscow, 1984, pp. 38-44. 18. V. A. Naumov, Markovian Models of Jobs Flows, UDN Publisher, Moscow, 1987, pp. 67-73, in Russian. 19. V. A. Naoumov, G. P. Basharin, Losungsmethoden fur lineare algebraische Gleichunssysteme stationarer charakteristiken, Academie-Verlag, Berlin, 1983, pp. 387-430. © Вишневский В. М., Самуйлов К. Е., Наумов В. А., Яркина Н. В., 2016

Об авторах

Владимир Миронович Вишневский

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН

Email: vishn@inbox.ru
Москва, Россия

Константин Евгеньевич Самуйлов

Российский университет дружбы народов

Email: ksam@sci.pfu.edu.ru
Москва, Россия

Валерий Арсеньевич Наумов

Исследовательский институт инноваций

Email: valeriy.naumov@pfu.fi
Хельсинки, Финляндия

Наталья Владимировна Яркина

Российский университет дружбы народов

Email: nat.yarkina@mail.ru
Москва, Россия

Список литературы