О существовании глобальной полугеодезической параметризации поверхностей

В статье рассматривается задача о существовании глобальной полугеодезической параметризации поверхностей. Эта проблема хорошо известна и является до сих пор нерешённой в общем виде. Известно, что для дважды непрерывно дифференцируемых поверхностей эта проблема имеет локальное решение. Однако, пример параболоида вращения указывает на то, что невозможно, вообще говоря, использовать локальные сети для построения глобальной координатной сети, определяемой полугеодезической параметризацией. Для решения задачи авторы идут по пути, приводящему к построению изотермической параметризации для поверхностей с положительно определённой первой квадратичной формой. С этой целью они выводят дифференциальное уравнение, которому должно удовлетворять отображение реализующее нужную параметризацию. В отличие от классического случая изотермической параметризации, новое уравнение представляет собой существенно нелинейное уравнение. Кроме того, эллиптическая система, определяемая новым уравнением, допускает вырождение в точках, в которых якобиан её решения обращается в ноль или бесконечность. При этом множество вырождения является заранее неизвестным. Неизвестна и скорость вырождения системы, которая существенно влияет на свойства неравномерно эллиптических систем. Для преодоления указанных трудностей авторы видоизменяют постановку задачи: вместо семейства геодезических, покрывающих поверхность полностью, они ограничиваются семействами таких линий, которые покрывают её лишь с точностью до множества нулевой меры Хаусдорфа. С помощью теории K-квазиконформных отображений они строят негладкие отображения, являющиеся обобщёнными решениями нелинейного уравнения Бельтрами, которые, тем не менее, позволяют выделить нужное семейство геодезических. Построенная авторами параметризация даёт возможность исследовать неклассические равновесные формы жидких капель.

first quadratic form of the parametric surface, quasiconfor- mal mappings, generalized solution, non-linear Beltrami equation, Sobolev spaces, imbedding theorems, weak convergence of the functions, almost global half-geodesic parameterization