Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)8814ArticlesСтатьиResearch ArticleBoundary Method of Weighted Residuals with Discontinuous Basis Functions for High-Accuracy Solving Linear Boundary Value Problems with Laplace and Poisson’s EquationГраничный метод взвешенных невязок с разрывными базисными функциями для высокоточного решения линейных краевых задач с уравнениями Лапласа и ПуассонаYuldashevO IЮлдашевОлег ИрикевичLaboratory of Information TechnologiesЛаборатория информационных технологийyuldash@cv.jinr.ruYuldashevaM BЮлдашеваМарина БорисовнаLaboratory of Information TechnologiesЛаборатория информационных технологийjuldash@cv.jinr.ruJoint Institute of Nuclear ResearchОбъединённый институт ядерных исследований150420134NO4 (2013)№4 (2013)14315308092016Copyright ©; 2013, Юлдашев О.И., Юлдашева М.Б.2013Юлдашев О.И., Юлдашева М.Б.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/8814In the present paper the method of least squares with T-elements for solving linear boundary value problems with Laplace and Poisson’s equations is developed. In this approach it is offered to use discontinuous basis functions of a high-order approximation from special functional spaces, elaborated by the authors earlier. Advantage of the algorithm in comparison with Galerkin’s standard method is that, in the process of adaptive solving, it makes possible to condense economically a mesh and, moreover, to use different order of approximation of the solution on each cell of partition of calculated region. In contrast to Galerkin’s method with discontinuous basis functions, a penalty parameter here is not required, and the matrix of a discretized problem also is symmetric and positively definite. Examples of calculations by means of the schemes providing computer accuracy of the solution of boundary value problems for polynomials up to seventh order inclusive are given. In a three-dimensional case h − p-convergence of approximate solution to the exact one is shown.В настоящей работе развивается метод наименьших квадратов с Т-элементами для решения линейных краевых задач с уравнениями Лапласа и Пуассона. В этом подходе предлагается использовать ранее разработанные авторами разрывные базисные функции высокого порядка аппроксимации из специальных функциональных пространств. Преимуществом данного алгоритма по сравнению со стандартным методом Галёркина является то, что он позволяет в процессе адаптивного решения экономично сгущать сетку и при этом использовать разную степень аппроксимации решения на каждой ячейке разбиения расчётной области. В отличие от метода Галёркина с разрывными базисными функциями, здесь не требуется задание параметра штрафа, а матрица дискретизованной задачи также является симметричной и положительно определённой. Приводятся примеры расчётов с помощью схем, обеспечивающих компьютерную точность решения краевых задач для многочленов до седьмой степени включительно. В трёхмерном случае продемонстрирована h − p сходимость приближённого решения к точному.boundary method of weighted residualsdiscontinuous basis functionsT-elementshigh accuracyLaplace’s equationPoisson’s equationграничный метод взвешенных невязокразрывные базисные функцииТ-элементывысокая точностьуравнение Лапласауравнение Пуассона1.The Large Hadron Collider / Ed. by P. Lef`evre, T. Pettersson. — CERN/AC/9505 (LHC), 1995. — Pp. 89–99.2.Численное решение задачи формирования однородного магнитного поля за счёт изменения занимаемого ферромагнетиком обьёма для некоторых магнитных систем экспериментальной физики / Е. П. Жидков, В. В. Рыльцов, О. И. Юлдашев, М. Б. Юлдашева // Вестник РУДН. Серия «Физика». — 2004. — № 12. — С. 17–25.3.Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. — M.: Наука, 1989.4.Unified Analysis of Discontinuous Galerkin Methods for Elliptic Problems / D.N. Arnold, F. Brezzi, B. Cockburn, L. Marini // SIAM J. Numer. Anal. — 2002. — Vol. 39, No 5. — Pp. 1749–1779.5.Epshteyn Y., Rivi`ere B. Estimation of Penalty Parameters for Symmetric Interior Penalty Galerkin Methods // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2007. — No 206. — Pp. 843–872.6.Jirousek J., Wr.oblewski A. T-elements: State of the Art and Future Trends // Archives of Computational Methods in Engineering. — 1996. — Vol. 3. — Pp. 323–434.7.Bochev P.B., Gunzburger M.D. Least-Squares Finite Element Methods. — New York: Springer, 2009.8.Qin Q.-H. Trefftz Finite Element Method and Its Applications // Appl. Mech. Rev. — 2005. — Vol. 58, No 5. — Pp. 316–337.9.Юлдашева О.И.Ю. и. М.Б. Об одном классе конечных элементов с гармоническими базисными функциями // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». — 2010. — № 2(2). — С. 45–49.10.Yuldashev O.I., Yuldasheva M.B. High-Order Vector Nodal Finite Elements with Harmonic, Irrotational and Solenoidal Basis Functions // Bulletin of Peoples’ Friendship University of Russin. Series ”Mathematics. Information Sciences. Physics”. — 2013. — No 1. — Pp. 90–98.11.Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. — М.: Мир, 1980.12.Yuldashev O.I., Yuldasheva M.B. 3D Finite Elements with Harmonic Basis Functions for Approximations of High Order. Preprint JINR E11-2008-104. — Dubna: JINR, 2008. — http://www1.jinr.ru/Preprints/2008/104(E11-2008-104).pdf.13.Meijerink J.A., van der Vorst H.A. An Iterative Solution for Linear Systems of which the Coefficient Matrix is a Symmetric M-Matrix // Math. Comput. — 1977. — Vol. 31. — Pp. 148–162.14.Program Package for the Accurate Three Dimensional Reconstruction of Magnetic Fields from the Boundary Measurements / A.V. Belov, T.F. Belyakova, O.G. Filatov et al. // Nucl. Instr. and Meth. in Phys. Res. — 2003. — Vol. A513. — Pp. 448–464.15.Gyimesi M. et al. Biot-Savart Integration for Bars and Arcs // IEEE Trans. on Mag. — 1993. — Vol. 29, No 6. — Pp. 2389–2391.