Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)8811ArticlesСтатьиResearch ArticleThe Algorithms of the Numerical Solution to the Parametric Two-Dimensional Boundary-Value Problem and Calculation Derivative of Solution with Respect to the Parameter and Matrix Elements by the Finite-Element MethodАлгоритмы численного решения параметрической двумерной краевой задачи на собственные значения и вычисления производных от собственных решений по параметру и матричных элементов методом конечных элементовGusevA AГусевАлександр АлександровичLaboratory of Information TechnologiesЛаборатория информационных технологийgooseff@jinr.ruJoint Institute for Nuclear ResearchОбъединённый институт ядерных исследований150420134NO4 (2013)№4 (2013)10112108092016Copyright ©; 2013, Гусев А.А.2013Гусев А.А.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/8811The effective and stable algorithms for numerical solution with the given accuracy of the parametrical two-dimensional (2D) boundary value problem (BVP)are presented. This BVP formulated for self-adjoined elliptic differential equations with the Dirichlet and/or Neumann type boundary conditions on a finite region of two variables. The original problem is reduced to the parametric homogeneous 1D BVP for a set of ordinary second order differential equations (ODEs). This reduction is implemented by using expansion of the required solution over an appropriate set of orthogonal eigenfunctions of an auxiliary Sturm-Liouville problem by one of the variables. Derivatives with respect to the parameter of eigenvalues and the corresponding vector-eigenfunctions of the reduced problem are determined as solutions of the parametric inhomogeneous 1D BVP. It is obtained by taking a derivative of the reduced problem with respect to the parameter. These problems are solved by the finite-element method with automatical shift of the spectrum. The presented algorithm implemented in Fortran 77 as the POTHEA program calculates with a given accuracy a set ∼ 50 of eigenvalues (potential curves), eigenfunctions and their first derivatives with respect to the parameter, and matrix elements that are integrals of the products of eigenfunctions and/or the derivatives of the eigenfunctions with respect to the parameter. The calculated potential curves and matrix elements can be used for forming the variable coefficients matrixes of a system of ODEs which arises in the reduction of the 3D BVP (d = 3) in the framework of a coupled-channel adiabatic approach or the Kantorovich method. The efficiency and stability of the algorithm are demonstrated by numerical analysis of eigensolutions 2D BVP and evaluated matrix elements which apply to solve the 3D BVP for the Schrödinger equation in hyperspherical coordinates describing a Helium atom with zero angular momentum with help of KANTBP program.Представлены эффективные и стабильные алгоритмы численного решения с заданной точностью параметрической двумерной краевой задачи на собственные значения (КЗСЗ). КЗСЗ формулируется для самосопряженного эллиптического дифференциального уравнения в частных производных с краевыми условиями Неймана и/или Дирихле в конечной двумерной области. Исходная задача редуцируется к параметрической однородной одномерной КЗСЗ для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (ОДУ). Редукция производится разложением искомого решения по подходящему набору ортогональных собственных функций вспомогательной задачи Штурма–Лиувилля по одной из переменных. Производные по параметру от собственных значений и соответствующих собственных вектор-функций редуцированной задачи определяются как решения параметрической неоднородной одномерной КЗСЗ, полученной дифференцированием по параметру редуцированной задачи. Полученные КЗСЗ решаются методом конечных элементов с автоматическим выбором сдвига спектра. Алгоритм, реализованный на Фортране 77 в виде программы POTHEA, вычисляет с заданной точностью набор ∼ 50 собственных значений (потенциальных термов), собственных функций и их первых производных по параметру, а также матричных элементов – интегралов от произведения собственных функций и/или первых производных собственных функций по параметру. Вычисленные потенциальные термы и матричные элементы можно использовать для формирования матрицы переменных коэффициентов системы ОДУ, которая возникает при редукции трёхмерной КЗСЗ в рамках многоканального адиабатического подхода или метода Канторовича. Эффективность и стабильность алгоритма продемонстрирована численным анализом собственных решений параметрической двумерной КЗСЗ и вычисленных матричных элементов которые применяются при решении с помощью программы KANTBP трёхмерной КЗСЗ для уравнения Шрёдингера для атома гелия с нулевым полным угловым моментом в гиперсферических координатах.parametrical two-dimensional boundary value problemelliptical equation in partial derivativesfinite element methodKantorovich methodhyperspherical coordinatesHelium atomпараметрическая двумерная задача на собственные значенияэллиптическое уравнение второго порядкаметод конечных элементовметод Канторовичагиперсферические координатыатом гелия1.Macek J. Properties of Autoionizing States of He // J. Phys. B. — 1968. — Vol. 1. — Pp. 831–843.2.Hornos J. E., MacDowell S. W., Caldwell C. D. Two-Electron Wave Functions in Hyperspherical Coordinates // Phys. Rev. A. — 1986. — Vol. 33. — Pp. 2212– 2224.3.Two-Dimensional Basis Functions for the Three-Body Problem in Hyperspherical Coordinates / A. G. Abrashkevich, S. I. Vinitskii, M. S. Kaschiev, I. V. Puzynin // Sov. Nucl. Phys. — 1988. — Vol. 48. — Pp. 602–608.4.Convergence of the Hyperspherical Adiabatic Expansion for Helium-Like Systems / A.G. Abrashkevich, D. G. Abrashkevich, M. S. Kaschiev et al. // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. — 1989. — Vol. 22. — Pp. 3957–3963.5.Multichannel Calculation of the Electric-Dipole Oscillator Strengths for the Discrete 1... 1.. Transitions in Helium within the Hyperspherical Adiabatic Approach / A.G. Abrashkevich, D.G. Abrashkevich, M. I. Gaysak et al. // Physics Letters A. — 1991. — Vol. 152. — Pp. 467–471.6.Adiabatic Hyperspherical Representation in Barycentric Coordinates for Helium-Like Systems / A.G. Abrashkevich, D.G. Abrashkevich, I.V. Puzynin, S.I. Vinitsky // J. Phys. B. — 1991. — Vol. 24. — Pp. 1615–1638.7.Doubly Excited States of H. and He in the Coupled-Channel Hyperspherical Adiabatic Approach / A. G. Abrashkevich, D. G. Abrashkevich, M. S. Kaschiev et al. // Phys. Rev. A. — 199. — Vol. 45. — Pp. 5274–5277.8.Abrashkevich A.G., Abrashkevich D.G., Shapiro M. HSTERM – A Program to Calculate Potential Curves and Radial Matrix Elements for Two-Electron Systems within the Hyperspherical Adiabatic Approach // Comput.Phys. Comm. — 1995. — Vol. 90. — Pp. 311–339.9.De Groote J.J., Masiliy M., Hornos J.E. Highly Excited States for the Helium Atom in the Hyperspherical Adiabatic Approach // J. Phys. B. — 1998. — Vol. 31. — Pp. 4755–4764.10.Abrashkevich A.G., Kaschiev M.S., Vinitsky S.I. A New Method for Solving an Eigenvalue Problem for a System of Three Coulomb Particles within the Hyperspherical Adiabatic Representation // J. Comp. Phys. — 2000. — Vol. 163. — Pp. 328–348.11.Abrashkevich A.G., Puzynin I.V., Vinitsky S.I. ASYMPT: a Program for Calculating Asymptotics of Hyperspherical Potential Curves and Adiabatic Potentials // Comput. Phys. Commun. — 2000. — Vol. 125. — Pp. 259–281.12.Algorithm for Reduction of Boundary-Value Problems in Multistep Adiabatic Approximation / A. A. Gusev, O. Chuluunbaatar, V. P. Gerdt et al. // arXiv:1005.2089. — 2010.13.Kaschiev M., Vinitsky S.I. Schrodinger Equation for a Three Particle System in Spheroidal Coordinates // Sov. J. Nucl. Phys. — 1986. — Vol. 44. — Pp. 246–260.14.Abramov D.I. Hyperspherical Coulomb Spheroidal Basis in the Coulomb Three-Body Problem // Phys. Atom. Nucl. — 2013. — Vol. 76. — Pp. 196–207.15.Chuluunbaatar O., Puzynin I.V., Vinitsky S.I. Uncoupled Correlated Calculations of Helium Isoelectronic Bound States // J. Phys. B. — 2001. — Vol. 34. — Pp. L425–L432.16.Drake G.W.F., Van Z.-C. Variational eigenvalues for the S states of helium // Chem. Phys. Lett. — 1994. — Vol. 229. — Pp. 486–490.17.Calculation of a Hydrogen Atom Photoionization in a Strong Magnetic Field by Using the Angular Oblate Spheroidal Functions / O. Chuluunbaatar, A.A. Gusev, V.L. Derbov et al. // J. Phys. A. — 2007. — Vol. 40. — Pp. 11485–11524.18.POTHMF: A Program for Computing Potential Curves and Matrix Elements of the Coupled Adiabatic Radial Equations for a Hydrogen-Like Atom in a Homogeneous Magnetic Field / O. Chuluunbaatar, A.A. Gusev, V.P. Gerdt et al. // Comput. Phys. Commun. — 2008. — Vol. 178. — Pp. 301–330.19.The Application of Adiabatic Method for the Description of Impurity States in Quantum Nanostructures / A.A. Gusev, O. Chuluunbaatar, S.I. Vinitsky et al. // J. Phys. Conf. Ser. — 2010. — Vol. 248. — Pp. 012047–1–8.20.Adiabatic Description Of Nonspherical Quantum Dot Models / A.A. Gusev, O. Chuluunbaatar, S.I. Vinitsky et al. // Phys. Atom. Nucl. — 2012. — Vol. 75. — Pp. 1281–1297.21.Channeling Problem for Charged Particles Produced by Confining Environment / O. Chuluunbaatar, A.A. Gusev, V.L. Derbov et al. // Phys. Atom. Nucl. — 2009. — Vol. 72. — Pp. 811–821.22.Symbolic-Numerical Algorithms to Solve the Quantum Tunneling Problem for a Coupled Pair of Ions / A.A. Gusev, S.I. Vinitsky, O. Chuluunbaatar et al. // Lecture Notes in Computer Science. — 2011. — Vol. 6885. — Pp. 175–191.23.Symbolic-Numerical Algorithm for Generating Cluster Eigenfunctions: Tunneling of Clusters Through Repulsive Barriers / A. Gusev, S. Vinitsky, O. Chuluunbaatar et al. // Lecture Notes in Computer Science. — 2013. — Vol. 8136. — Pp. 427–440.24.Виницкий С.И., Гусев А.А., Чулуунбаатар О. Решение краевых задач шрёдингеровского типа методом Канторовича // Вестник СПбГУ: Серия 4 «Физика. Химия». — 2010. — Т. 3. — С. 111–115.25.Kantorovich L.V., Krylov V.I. Approximate Methods of Higher Analysis. — New York: Wiley, 1964.26.Чулуунбаатар О. Алгоритм численного решения параметрической задачи Штурма-Лиувилля и вычисления производных от решения по параметру методом конечных элементов // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». — 2009. — Т. 2. — С. 54–65.27.A Symbolic-Numerical Algorithm for the Computation of Matrix Elements in the Parametric Eigenvalue Problem / S.I. Vinitsky, V.P. Gerdt, A.A. Gusev et al. // Programming and Computer Software. — 2007. — Vol. 33. — Pp. 105–116.28.ODPEVP: A Program for Computing Eigenvalues and Eigenfunctions and Their First Derivatives with Respect to the Parameter of the Parametric Self-Adjoined Sturm–Liouville Problem / O. Chuluunbaatar, A.A. Gusev, S.I. Vinitsky, A.G. Abrashkevich // Comput. Phys. Commun. — 2009. — Vol. 180. — Pp. 1358– 1375.29.KANTBP: A Program for Computing Energy Levels, Reaction Matrix and Radial Wave Functions in the Coupled-Channel Hyperspherical Adiabatic Approach / O. Chuluunbaatar, A.A. Gusev, A.G. Abrashkevich et al. // Comput. Phys. Commun. — 2007. — Vol. 177. — Pp. 649–675.30.KANTBP 2.0: New Version of a Program for Computing Energy Levels, Reaction Matrix and Radial Wave Functions in the Coupled-Channel Hyperspherical Adiabatic Approach / O. Chuluunbaatar, A.A. Gusev, S.I. Vinitsky, A.G. Abrashkevich // Comput. Phys. Commun. — 2008. — Vol. 179. — Pp. 685–693.31.Chuluunbaatar O., Gusev A.A., Vinitsky S.I., Abrashkevich A.G. A Program Package for Solution of Two-Dimensional Discrete and Continuum Spectra Boundary-Value Problems in Kantorovich (Adiabatic) Approach. — 2013. — http://wwwinfo.jinr.ru/programs/jinrlib/kantbp/indexe.html.32.Strang G., Fix G.J. An Analysis of the Finite Element Method. — New York: Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1973.33.Bathe K.J. Finite Element Procedures in Engineering Analysis. — New York: Englewood Cliffs, Prentice Hall, 1982.34.Chuluunbaatar O. The Scientific Doctoral Thesis. — JINR, 2010.35.Gantmacher F.R. The Theory of Matrices. — USA: AMS, Providence, 2000.36.Golub G.H., Van Loan C.F. Matrix Computations. — Johns Hopkins Univ. Press, 1996.37.Whitakker E.T., Watson G.N. A Course of Modern Analysis. — Cambridge: Univ. Press, 1927.