Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)8805ArticlesСтатьиResearch ArticleWeighted Inequalities for Quasilinear Integral Operators on the Cone of Monotone FunctionsВесовые неравенства для квазилинейных интегральных операторов на конусе монотонных функцийShambilovaG EШамбиловаГульдарья ЭрмаковнаMathematical Analysis and Functiona Theory DepartmentКафедра математического анализа и теории функцийshambilova@mail.ruPeoples’ Friendship University of RussiaРоссийский университет дружбы народов150420134NO4 (2013)№4 (2013)334408092016Copyright ©; 2013, Шамбилова Г.Э.2013Шамбилова Г.Э.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/8805Criteria for the Hardy-type inequalities with quasi-linear operators on the cones of monotone functions on the semiaxis are obtained. We study the problem of finding necessary and sufficient conditions for the weighted Hardy-type inequalities for the quasi-linear operators on the cone of monotone functions. To this end we choose a composition of power type integral operations and investigate the characterization problem on its boundedness in the weighted Lebesgue (quasi) norms on the cones of non-negative monotone decrasing functions on the real semiaxis. The main method of the solution of the problem is the reduction method which allows to reduce the inequality on the cones of monotone functions to the corresponding inequalities on the cones of arbitrary non-negative functions, which adopt equivalent description in terms of the boundedness appropriated functionals depending on ingredients of the initial problem. As usual we obtain equivalence of the functionals and the best constants involving into initial inequalities, where the mulpiple constants of equivalence depend only of the parameters of summation. Unlike the initial problems of this area we study multiparametrical case increasing the number of weight functions and summation parameters. This case is new for the weighted inequalities on the cones of monotone functions.В работе рассматривается задача о нахождении необходимых и достаточных условий выполнения весовых неравенств типа Харди для квазилинейных операторов на конусе монотонных функций. Для этого выбирается композиция степенных интегральных операций и изучается вопрос о характеризации ее ограниченности в весовых (квази) нормах Лебега на конусах неотрицательных монотонно убывающих функций на действительной полуоси. Основным методом решения поставленной задачи является метод редукции интегральных неравенств на конусах монотонных функций к неравенствам на конусах всех произвольных неотрицательных функций, допускающих эквивалентное описание в терминах ограниченности подходящих функционалов, зависящих от ингредиентов исходной задачи. Как правило мы получаем эквивалентность получаемых функционалов и наилучших констант, участвующих в исходном неравенстве с точностью до мультипликативных сомножителей, зависящих только от параметров суммирования. В отличие от первоначальных задач в данной области мы рассматриваем многопараметрический случай, увеличивая количество весовых функций и параметров суммирования. Этот случай является новым и для конусов монотонных функций рассматривается впервые.Hardy inequalityweighted Lebesgue spacequasi-linear operatorcones of monotone functionsboundednessнеравенство Хардивесовое пространство Лебегаквазилинейный операторконус монотонных функцийограниченность1.Гогатишвили А., Степанов В.Д. Об операторах на конусах монотонных функций // Доклады АН. — 2012. — Т. 445, № 6. — С. 618–621.2.Гогатишвили А., Степанов В.Д. Об интегральных операторах на конусах монотонных функций // Доклады АН. — 2012. — Т. 446, № 4. — С. 367–370.3.Gogatishvili A., Stepanov V.D. Reduction Theorems for Operators on the Cones of Monotone Functions // J. Math. Anal. Appl. — 2013. — Vol. 405, No 1. — Pp. 156–172.4.Прохоров Д.В., Степанов В.Д. О весовых неравенствах Харди в смешанных нормах // Тр. МИАН. — 2013. — Т. 283. — С. 125–140.5.Boundedness of the Fractional Maximal Operator in Local Morrey-Type Spaces / V.I. Burenkov, A. Gogatishvili, V.S. Guliev, R.C. Mustafaeyev // Complex Variables and Elliptic Equations. — 2010. — Vol. 55, No 8. — Pp. 739–758.6.Boundedness of the Riesz Potential in Local Morrey-Type Spaces / V.I. Burenkov, A. Gogatishvili, V.S. Guliev, R.C. Mustafaeyev // Potential Anal. — 2011. — Vol. 35. — Pp. 67–87.