Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)8762ArticlesСтатьиMulti-Layer Schemes for Solving Time-Dependent Schrцdinger Equation by Finite Element MethodМногослойные схемы для численного решения нестационарного уравнения Шрёдингера методом конечных элементовChuluunbaatarOЧулуунбаатарОJoint Institute for Nuclear ResearchОбъединённый институт ядерных исследований-Joint Institute for Nuclear ResearchОбъединённый институт ядерных исследований150320083NO3 (2008)№3 (2008)698408092016Copyright ©; 2008, Чулуунбаатар О.2008Чулуунбаатар О.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/8762The symmetric implicit operator-difference multi-layer schemes for solving the timedependent Schrцdinger equation based on decomposition of the evolution operator via the explicit Magnus expansion up to the sixth order of accuracy with respect to the time step are presented. Reduced schemes for solving the Cauchy problem of a set of coupled timedependent Schrцdinger equations with respect to the hyperradial variable are devised by using the Kantorovich expansion of the wave packet over a set of appropriate parametric basis angular functions. The implicit algebraic schemes for numerical solving the problem with symmetric operators, using discretization of the component of the wave package by hyperradial variable by the high order finite-element method are formulated. The convergence and efficiency of the numerical schemes are demonstrated in numerical calculations of the exactly solvable models of one-dimensional oscillator with time-dependent frequency, two-dimensional oscillator in time-dependent external field by using the conventual angular basis. Построены симметричные операторно-разностные многослойные неявные схемы для решения нестационарного уравнения Шрёдингера до шестого порядка точности по шагу временной переменной на основе факторизации унитарного оператора эволюции с помощью явного разложения Магнуса. Выведены редуцированные схемы решения задачи Коши для системы связанных нестационарных уравнений Шрёдингера по гиперрадиальной переменной, используя разложение Канторовича волнового пакета по набору подходящих параметрических базисных угловых функций. Сформулированы неявные алгебраические схемы численного решения этой задачи с симметричными операторами, используя дискретизацию компонент волнового пакета по гиперрадиальной переменной методом конечных элементов высокого порядка точности. Эффективность и устойчивость построенных схем демонстрируется численным анализом точно-решаемых моделей одномерного осциллятора с частотой, зависящей от времени и двумерного осциллятора в переменном внешнем поле, используя стандартный базис угловых функций. нестационарное уравнение Шрёдингеразадача Кошифакторизация оператора эволюцииоператорно-разностные многослойные схемыметод Канторовичаметод конечных элементов1.Чулуунбаатар О. Многослойные схемы для численного решения нестационарного уравнения Шредингера // Вестник РУДН: Серия Математика. Информатика. Физика. - № 1. - 2008. - С. 59-69.2.Magnus W. On the Exponential Solution of Differential Equations for a Linear Operator // Commun. Pure Appl. Math. - Т. 7. - 1954.3.Wilcox R. M. Exponential Operators and Parametr Differentiation in Quantum Physics // J. Math. Phys. - Vol. 8. - 1967. - Pp. 962-982.4.Strang G., Fix G. J. An Analysis of the Finite Element Method. - New York: Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1973.5.Bathe K. J. Finite Element Procedures in Engineering Analysis. - New York: Englewood Cliffs, Prentice Hall, 1982.6.Puzynin I. V., Selin A. V., Vinitsky S. I. A High-Order Accuracy Method for Numerical Solving of the Time-Dependent Schr.odinger Equation // Comput. Phys. Commun. - Vol. 123. - 1999. - Pp. 1-6.7.Puzynin I. V., Selin A. V., Vinitsky S. I. Magnus-Factorized Method for Numerical Solving the Time-Dependent Schr.odinger Equation // Comput. Phys. Commun. - Vol. 126. - 2000. - Pp. 158-161.8.Селин А. В. Метод приближённого решения линейного эволюционного уравнения в гильбертовом пространстве // ЖВМ и МФ. - Т. 42. - 2002. - С. 937-949.9.Селин А. В. Метод аппроксимации эволюционных операторов с помощью экспоненциального представления и рациональных функций в гильбертовом пространстве. Дисс. канд.физ.-мат. наук. - Дубна, 2002.10.Snider R. F. Perturbation Variation Methods for a Quantum Boltzmann Equation // J. Math. Phys. - Т. 5. - 1964. - С. 1580-1587.11.Самарский А. А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1977.12.Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближённые методы высшего анализа. - М.: Гостехиздат, 1952.13.Chuluunbaatar O. et al. KANTBP: A Program for Computing Energy Levels, Reaction Matrix and Radial Wave Functions in the Coupled-Channel Hyperspherical Adiabatic Approach // Comput. Phys. Commun. - Vol. 177. - 2007. - Pp. 649-675.14.Калиткин Н. Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978.15.Butkovskiy A. G., Samoilenko Y. I. Control of Quantum-Mechanical Processes and Systems. - Dordrecht Hardbound, Kluwer Academic Publishers, 1990.16.Demkov Y. N., Meyer J. D. A Sub-Atomic Microscope, Superfocusing in Channeling and Close Encounter Atomic and Nuclear Reactions // Eur. Phys. J. B. - Vol. 42. - 2004. - Pp. 361-365.17.Kalandarov S. A. et al. Influence of External Magnetic Field on Dynamics of Open Quantum Systems // Phys. Rev. E. - Vol. 75. - 2007. - Pp. 031115-1-16.