Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)8748ArticlesСтатьиDarboux Transformations for the Generalized SchrЁodinger EquationПреобразования Дарбу для обобщённого уравнения ШрёдингераSuzkoA AСузькоАллина АлексеевнаЛаборатория информационных технологийОбъединённый институт энергетических и ядерных исследований НАН Р. Беларусьул. акад. А.К. Красина, 99, Минск, 220109, Республика Беларусь; Объединённый институт ядерных исследований; Joint Institute for Nuclear ResearchЛаборатория информационных технологийОбъединённый институт энергетических и ядерных исследований НАН Р. Беларусьул. акад. А.К. Красина, 99, Минск, 220109, Республика Беларусь; Объединённый институт ядерных исследованийsuzko@jinr.ruVelichevaE PВеличеваЕлена ПетровнаЛаборатория ядерных проблем; Объединённый институт ядерных исследований; Joint Institute for Nuclear ResearchЛаборатория ядерных проблем; Объединённый институт ядерных исследованийvelicheva@jinr.ruJoint Institute for Nuclear ResearchОбъединённый институт ядерных исследований150220112NO2 (2011)№2 (2011)14816008092016Copyright ©; 2011, Сузько А.А., Величева Е.П.2011Сузько А.А., Величева Е.П.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/8748The Darboux transformations of the n-th order is elaborated for a generalized Schr̈odinger equation with a position-dependent effective mass and with a linearly energy-dependent potential. The Darboux transformations are given also in an integral form. A correspondence between the differential Darboux transformations and the integral ones has been established. The second-order Darboux transformations are analyzed both at different energies and at the same transformation energy. The method is illustrated by several examples of constructing quantum potential wells with a given spectrum.Преобразования Дарбу n-го порядка разрабатываются для обобщённого уравнения Шрёдингера, обладающего помимо обычного потенциала эффективной массой, зависящей от координаты, и дополнительным потенциалом, линейно зависящим от энергии. Приведён интегральный вид преобразований Дарбу и установлена их связь с преобразованиями в дифференциальной форме. Проанализированы преобразования второго порядка как при разных энергиях, так и при одной и той же энергии преобразования. Метод проиллюстрирован конкретными примерами конструирования квантовых потенциальных ям с заданным спектром.generalized Schr̈odinger equationsDarboux transformationsобобщённые уравнения Шрёдингерапреобразования Дарбу[Ring P., Schuck P. The Nuclear Many Body Problem. - New York: Springer, 1980. - 211 p.][Razavy M., Field G., Levinger J. S. Analytical Solutions for Velocity-Dependent Nuclear Potentials // Phys. Rev. - 1962. - Vol. 125. - Pp. 269-272.][Бабиков В. В. Метод фазовых функций в квантовой механике. - М.: Наука, 1976. - 224 с. [Babikov V. V. Metod fazovihkh funkciyj v kvantovoyj mekhanike. - M.: Nauka, 1976. - 224 s.]][Vinitsky S. I. et al. Effective adiabatic Approximation in the Problem of Three Bodies Coupled via Short-range Potentials // Physics of Atomic Nuclei. - 2001. - Vol. 64. - Pp. 27-37.][Jaghoub M. I. Perturbation Theory for Isotropic Velocity-dependent Potentials: Scattering case // Phys. Rev. A. - 2006. - Vol. 74. - Pp. 032702-032702-8.][Arias de Saavedra F. et al. Effective Mass of One 4.... Atom in Liquid 3.... // Phys. Rev. B. - 1994. - Vol. 50. - Pp. 4248-4251.][Barranko M. et al. Structure and Energetics of Mixed 4.... .3 .... drops // Phys. Rev. B. - 1997. - Vol. 56. - Pp. 8997-9003.][Brack M. Multipole Vibrations of Small Alkali-metal Spheres in a Semiclassical Discription // Phys. Rev. B. - 1989. - Vol. 39. - Pp. 3533-3542.][Puente A., Serra L., Casas M. Dipole Excitation of Na Clusters with a Non-local Energy density Functional // Z. Phys. D. - 1994. - Vol. 31. - Pp. 283-286.][Bastard G. Wave Mechanics Applied to Semiconductor Heterostructure. - France: Les Editions de Physique, Les Ulis, 1988. - 366 p.][Morrow R. A., Brownstein K. R. Model Effective-mass Hamiltonians for Abrupt Heterojunctions and Associated Wave-function Matching Conditions // Phys. Rev. B. - 1984. - Vol. 30. - Pp. 678-680.][Einevoll G. T., Hemmer P. C., Thomesn J. Operator Ordering in Effective-massTheory for Heterostructures. I. Comprason with Exact Result for Superlattices, Quantum Wells and Localized Potentials // Phys. Rev. B. - 1990. - Vol. 42. - Pp. 3485-3496.][Plastino A. R. et al. Supersymmetric Approach to Quantum Systems with Position-Dependent Effective Mass // Phys. Rev. A. - 1999. - Vol. 60. - Pp. 4318-4325.][Milanovi.c V., Iconi.c Z. Generation of Isospectral Combinations of the Potential and the Effective-mass Variations by Supersymmetric Quantum Mechanics // J. Phys. A: Math. Gen. - 1999. - Vol. 32. - Pp. 7001-7015.][Roy B., Roy P. A Lie Algebraic Approach to Effective mass Schr.odinger Equations // J. Phys. A. - 2002. - Vol. 35. - Pp. 3961-3969.][Ko.c R., Koca M. A Systematic Study on the Exact Solution of the Position Dependent mass Schr.odinger Equation // J. Phys. A. - 2003. - Vol. 36. - Pp. 8105- 8112.][Suzko A. A., Schulze-Halberg A. Intertwining Operator Method and Supersymmetry for Effective mass Schr.odinger Equations // Phys. Lett. A. - 2008. - Vol. 372. - Pp. 5865-5871.][Suzko A. A., Schulze-Halberg A. Darboux Transformations and Supersymmetry for the Generalized Schr.odinger Equations in (1 + 1) Dimensions // J. Phys. A. - 2009. - Vol. 42. - Pp. 295203-295203-14.][Goser K., Gl.osek.otter P., Dienstuhl J. Nanoelectronics and Nanosystems. FromTransistors to Molecular and Quantum Devices. - Berlin: Springer-Verlag, 2004. - 284 p.][Low-dimensional Systems // Special issue of Physica E. - 2002. - Vol. 14, No 1/2. - Pp. 5865-5871.][Darboux M. G. // Comptes Rendus Acad. Sci. Paris. - 1882. - Vol. 94. - Pp. 1456-1459.][Matveev V. B., Salle M. A. Darboux Transformations and Solitons. - Berlin: Springer, 1991. - 123 p.][Gu C., Hu H., Zhou Z. Darboux Transformations in Integrable Systems. - Dordrecht: The Netherlands: Mathematical Physics Studies 26, Springer, 2005. - 310 p.][Suzko A. A., Schulze-Halberg A., Velicheva E. P. Supersymmetry and Darboux Transformations for the Generalized Schr.odinger Equations // Physics of Atomic Nuclei. - 2009. - Vol. 72. - Pp. 858-865.][Suzko A. A., Giorgadze G. Darboux Transformations for the Generalized Schr.odinger Equations // Physics of Atomic Nuclei. - 2007. - Vol. 70, No 3. - Pp. 607-610.][Suzko A. A., Tralle I. Reconstruction of Quantum Well Potentials via the Intertwining Operator Technique // Acta Physica Polonica B. - 2008. - Vol. 39, No 3. - Pp. 1001-1023.]