Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)8669ArticlesСтатьиThe Schur Complement and the Number of Focal Points of a Symplectic Difference SystemДополнение Шура и число фокальных точек симплектической системы разностных уравненийElyseevaJ VЕлисееваЮлия ВитальевнаКафедра «Прикладная математика»; Московский государственный технологический университет «Станкин»; Moscow State University of Technology StankinКафедра «Прикладная математика»; Московский государственный технологический университет «Станкин»elyseeva@gmail.comMoscow State University of Technology StankinМосковский государственный технологический университет «Станкин»150320113NO3 (2011)№3 (2011)182308092016Copyright ©; 2011, Елисеева Ю.В.2011Елисеева Ю.В.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/8669We present new results connecting the number of focal points of a conjoined basis of а 2n × 2n symplectic difference system and the negative inertia index of the Schur complement in a symmetric matrix of the same size. The proved result makes it possible to reduce the problem of calculating of focal points for discrete symplectic systems to a saddle point spectral problem for a symmetric indefinite block matrix.В работе представлены новые результаты, связывающие число фокальных точек сопряжённого базиса симплектической разностной системы размерности 2n и отрицательный индекс инерции дополнения Шура в некоторой симметрической матрице той же размерности. Доказанный результат позволяет свести задачу вычисления фокальных точек дискретных симплектических систем к задаче вычисления спектра некоторой «седловой» задачи для блочной симметрической матрицы с собственными значениями различных знаков.symplectic difference systemsfocal pointsschur complementсимплектические разностные системыфокальные точкидополнение Шура1.Bohner M., Do.sl.y O. Disconjugacy and Transformations for Symplectic Systems // Rocky Mountain Journal of Mathematics. - 1997. - No 3. - Pp. 707-743.2.Kratz W. Discrete Oscillation // J. Difference Equations and Appl. - 2003. -No 9. - Pp. 127-135.3.Do.sl.y O., Kratz W. Oscillation Theorems for Symplectic Difference Systems // Journal of Difference Equations and Applications. - 2007. - No 13. - Pp. 585- 605.4.Зеликин М.И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении. - М.: Факториал, 1998. - 352 с. [Zelikin M. I. Odnorodnihe prostranstva i uravnenie Rikkati v variacionnom ischislenii. - M.: Faktorial, 1998. - 352 s. ]5.Елисеева Ю. В. Сравнительный индекс для решений симплектических систем разностных уравнений // Дифференциальные уравнения. - 2009. - № 45. - С. 432-444. [Eliseeva Yu. V. Sravniteljnihyj indeks dlya resheniyj simplekticheskikh sistem raznostnihkh uravneniyj // Differencialjnihe uravneniya. - 2009. - No 45. - S. 432-444. ]6.Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. - М.: Физматлит, 1998. - 352 с. [Gantmakher F. R. Teoriya matric. - M.: Fizmatlit, 1998. - 352 s. ]7.Elyseeva J. On Relative Oscillation Theory for Symplectic Eigenvalue Problems // Applied Mathematics Letters. - 2010. - No 23. - Pp. 1231-1237.8.Amrein W. O., Hinz A. M., Pearson D. B. Sturm-Liouville Theory Past and Present. - Basel: Springer, 2005. - 348 p.9.Kratz W., Tentler M. Recursion Formulae for the Characteristic Polynomial of Symmetric Banded Matrices // Linear Algebra and its Application. - 2008. - No 428. - Pp. 2482-2500.10.Benzi M., Golub G., Liesen J. Numerical Solution of Saddle Point Problems // Acta Numerica. - 2005. - No 14. - Pp. 1-137.11.Быченков Ю. В., Чижонков Е. В. Итерационные методы решения седловых задач. - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2010. - 349 с. [Bihchenkov Yu. V., Chizhonkov E. V. Iteracionnihe metodih resheniya sedlovihkh zadach. - M.: Binom. Laboratoriya znaniyj, 2010. - 349 s. ]