Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)8602ArticlesСтатьиResearch ArticleStability Research of Population Dynamics Model on the Basis of Construction of the Stochastic Self-Consistent Models and the Principle of the ReductionИсследование устойчивости модели популяционной динамики на основе построения стохастических самосогласованных моделей и принципа редукцииDemidovaA VДемидоваАнастасия ВячеславовнаDepartment of Applied Probability and InformaticsКафедра прикладной информатики и теории вероятностейavdemidova@sci.pfu.edu.ruDruzhininaO VДружининаОльга Валентиновнаovdruzh@mail.ruMasinaO NМасинаОльга НиколаевнаDepartment of Mathematical Modeling and Computer TechnologiesКафедра математического моделирования и компьютерных технологийolga121@inbox.ruPeoples’ Friendship University of RussiaРоссийский университет дружбы народовInstitution of Russian Academy of Sciences Dorodnicyn Computing Centre of RASВычислительный центр им. А.А. Дородницына РАНYelets State University named after Ivan BuninЕлецкий государственный университет им. И.А. Бунина150320153NO3 (2015)№3 (2015)182908092016Copyright ©; 2015, Демидова А.В., Дружинина О.В., Масина О.Н.2015Демидова А.В., Дружинина О.В., Масина О.Н.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/8602The three-dimensional model of interaction of populations taking into account the competition and diffusion of species is considered. For research of model the combination of known methods of synthesis and the analysis of models, the principle of a reduction and the developed method of construction of the stochastic self-consistent models is used. Existence conditions of equilibrium states are obtained and the analysis of stability is made. Stability conditions on the basis of the principle of a reduction of a problem about stability of solutions of differential inclusion to a problem on stability of other types of the equations are offered. The specified principle assumes transition from the vector ordinary differential equations to vector differential inclusion and the fuzzy differential equation, taking into account change of parameters of different types in the studied models. For the considered model of population dynamics synthesis of the corresponding stochastic model on the basis of application of a method of construction of the stochastic self-consistent models is carried out. The structure of stochastic model is described, Fokker-Planck equation is written out, and the rule of transition to the stochastic differential equation in the form of Langevin is formulated. The offered approach allowed to carry out the comparative analysis of qualitative properties of the models considering the competition and diffusion of species in deterministic and stochastic cases. Stability conditions can be used for studying of dynamic behavior of models of population dynamics. The received results are aimed at the further development of methods of construction and the analysis of stability of nondeterministic mathematical models of natural sciences.Рассмотрена трёхмерная модель взаимодействия популяций с учётом конкуренции и миграции видов. Для исследования модели использовано сочетание известных методов синтеза и анализа моделей и разработанного метода построения стохастических самосогласованных моделей. Получены условия существования состояний равновесия и выполнен анализ устойчивости. Предложены условия устойчивости на основе принципа редукции задачи об устойчивости решений дифференциального включения к задаче об устойчивости других типов уравнений. Указанный принцип предполагает переход от векторных обыкновенных дифференциальных уравнений к векторному дифференциальному включению и нечёткому дифференциальному уравнению, с учётом изменения параметров того или иного типа в исследуемых моделях. Для рассматриваемой модели популяционной динамики осуществлён синтез соответствующей стохастической модели на основе применения метода построения стохастических самосогласованных моделей. Описана структура стохастической модели, выписано уравнение Фоккера--Планка, сформулировано правило перехода к стохастическому дифференциальному уравнению в форме Ланжевена. Предложенный подход позволил провести сравнительный анализ качественных свойств моделей, учитывающих конкуренцию и миграцию видов, в детерминистическом и стохастическом случаях. Условия устойчивости могут быть использованы для изучения динамического поведения моделей популяционной динамики. Полученные результаты направлены на дальнейшее развитие методов построения и анализа устойчивости недетерминированных математических моделей естествознания.stochastic modelsingle-step processespopulation dynamicsstabilitydifferential equationsprinciple of a reductionстохастическая модельодношаговые процессыпопуляционная динамикаустойчивостьдифференциальные уравненияпринцип редукции1.Пых Ю.А. Равновесие и устойчивость в моделях популяционной динамики. Москва: Наука, 1983.2.Масина О.Н., Дружинина О.В. Существование устойчивых состояний равновесия и предельные свойства решений обобщенных систем Лотки-Вольтерра // Вестник Воронеж. гос. ун-та. Физика. Математика. 2007. № 1. С. 55-57.3.Дружинина О.В., Масина О.Н. Методы исследования устойчивости и управляемости нечетких и стохастических динамических систем. Москва: ВЦ РАН, 2009. 180 с.4.Zhang X., Chen L. The Linear and Nonlinear Diffusion of the Competitive Lotka-Volterra Model // Nonlinear Analysis. 2007. Vol. 66. Pp. 2767-2776.5.Дружинина О.В., Масина О.Н. Исследование существования и устойчивости решений дифференциальной системы экологической динамики с учетом конкуренции и диффузии // Нелинейный мир. 2009. Т. 7(11). С. 881-888.6.Кац И.Я., Красовский Н.Н. Об устойчивости систем со случайными параметрами // Прикладная математика и механика. 1960. № 24. С. 809-823.7.Kozin F. Stability of the Linear Stochastic Systems // Lecture Notes in Math. 1972. Vol. 294. Pp. 189-192.8.Меренков Ю.Н. Устойчивоподобные свойства дифференциальных включений, нечетких и стохастических дифференциальных уравнений. Монография. Москва: Изд-во РУДН, 2000.9.Шестаков А.А. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами. Москва: УРСС, 2007.10.Масина О.Н. О существовании решений дифференциальных включений // Дифференциальные уравнения. 2008. № 6(44). С. 845-847.11.Демидова А.В., Дружинина О.В., Масина О.Н. Построение стохастической модели динамики популяций, учитывающей конкуренцию и миграцию видов // Материалы Всероссийской конференции с международным участием «Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем» (Москва, РУДН, 20-24 апреля 2015 г.). М.: РУДН, 2015. С. 255-258.12.Oksendal B.K. Stochastic Differential Equations: an Introduction with Applications. Berlin: Springer, 2003. P. 360.13.Павлоцкий И.П., Суслин В.М. Стохастическая модель эволюции популяции в пространстве // Математическое моделирование. 1994. Т. 3(6). С. 9-24.14.Демидова А.В., Кулябов Д.С. Введение согласованного стохастического члена в уравнение модели роста популяций // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». 2012. № 3. С. 69-78.15.Демидова А.В. Уравнения динамики популяций в форме стохастических дифференциальных уравнений // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». 2013. № 1. С. 67-76.16.Влияние стохастизации на одношаговые модели / А.В. Демидова, М.Н. Геворкян, А.Д. Егоров и др. // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». 2014. № 1. С. 71-85.