Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)8600ArticlesСтатьиResearch ArticleOn the Approximate Solving of the Differential Equations which General Solutions Depend on a Constant of Integration AlgebraicallyО приближенном решении дифференциальных уравнений, общее решение которых зависит от константы алгебраическиMalykhM DМалыхМихаил ДмитриевичFaculty of Materials Sciences; Department of Applied Probability and Informatics Peoples’ Friendship University of Russia Miklukho-Maklaya str., 6, Moscow, Russian Federation, 117198Факультет наук о материалах; Кафедра прикладной информатики и теории вероятностей, Российский университет дружбы народов, ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, Россия, 117198malykhmd@yandex.ruLomonosov Moscow State UniversityМосковский государственный университет им. М.В. Ломоносова150320153NO3 (2015)№3 (2015)5908092016Copyright ©; 2015, Малых М.Д.2015Малых М.Д.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/8600Methods of analytically theory of ordinary differential equations are based on the analysis of singularities, but the most popular method for the numerical solving, that is the method of finite differences does not work in neighborhood of singularities. However Painlevé gave an algebraic method for the solution of the differential equations in finite terms and general solutions of this equations depend algebraically on a constant of integration. This approach which was presented as Galois theory on the contrary can be well combined with method of finite differences. It is well known, the ordinary differential equation of form y′ = f(x,y) with this property can be algebraically transformed by substitution to Riccati equation. Euler scheme yn+1 = yn + f(xn,yn)Δx always determines (1,k)-correspondence between neighboring layers. But exact solution of Riccati equation determines (1,1)-correspondence between any layers and thus we can write a scheme which determines (1,1)-correspondence between neighboring layers. In this case anharmonic ratio of 4 points does not change from layer to layer not only for exact solution but also for approximate solution. Thus if an exact solution has a pole then the approximate solution passes through infinity without accumulation of an error. In the presented article this property of (1,1)-scheme will be illustrated by two examples: with and without solution in elementary functions. So the cause of destruction of the approximate solution near a pole is put in Euler scheme itself. In more general case when exact solution of ordinary differential equation depends algebraically on an integration constant we can write a scheme which determines (l,l)-correspondence between neighboring layers. Approximate solution which is found on this way passes through movable algebraic singularities without accumulation of an error.Методы аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) основаны на анализе особенностей, но самый популярный метод для численного решения, а именно метод конечных разностей, не работает вблизи особенностей. Однако Пенлеве дал алгебраический метод для решения в конечном виде дифференциальных уравнений, общие решения которых зависят от константы интегрирования алгебраически. Этот подход, который был представлен как своеобразная теория Галуа, напротив, может быть хорошо увязан с методом конечных разностей. Как известно, обыкновенное дифференциальное уравнение вида y′ = f(x,y), обладающее этом свойством, может быть преобразовано алгебраически заменой к уравнению Риккати. Схема Эйлера yn+1 = yn + f(xn,yn)Δx всегда задаёт (1,k)-соответствие между соседними слоями. В то же время точное решение уравнения Риккати задаёт (1,1)-соответствие между любыми слоями и поэтому мы можем написать схему, задающую (1,1)-соответствие между соседними слоями. В этом случае ангармоническое отношение четырёх точек не меняется от слоя до слоя не только для точного, но также и для приблизительного решения. Таким образом, если у точного решения имеется полюс, то приближенное решение проходит через бесконечность без накопления ошибки. В представленной статье это свойство (1,1)-схем будет проиллюстрировано двумя примерами: с и без решения в элементарных функциях. Таким образом, причина разрушения приближенного решения около полюса спрятана в саму схему Эйлера. В более общем случае, когда точное решение обыкновенного дифференциального уравнения зависит от постоянной интегрирования алгебраически, мы можем написать схему, которая задаёт (l,l)-корреспонденция между соседними слоями. Приближенное решение, найденное на этом пути, проходит через подвижные алгебраические особенности без накопления ошибки.sagesagemathRiccati equationfinite differences methodalgebraic correspondenceуравнение Риккатиметод конечных разностейалгебраические соответствия1.Painleve P. Le.cons sur la theorie analytique des equations differentielles. Paris, 1897. Перепечатаны в первом томе Трудов Пенлеве, 1971.2.Umemura H. Birational Automorphism Groups and Differential Equations // Nagoya Math. J. 1990. Vol. 119. Pp. 1-80.3.Малых М.Д. Об интегралах систем обыкновенных дифференциальных уравнений, представимых в конечном виде // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». 2014. № 3. С. 11-16.4.Крылов А.Н. Лекции о приближенных вычислениях. Л.: АН СССР, 1933.5.Okamoto K. Sur les feuilletages associ.es aux. equation du second odre apoints critiques fixes de P. Painleve // Japan. J. Math. 1979. T. 5, no 1. Pp. 1-79.6.Калиткин Н.Н. Численные методы. СПб.: БХВ-Петербург, 2011.7.Stein W.A. et al., 2015. Sage Mathematics Software (Version 6.7). The Sage Development Team. URL: http://www.sagemath.org.