Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)8577ArticlesСтатьиResearch ArticleCalculation Schemes for Solving Sturm- Liouville Problem by Finite-Element Method with Interpolating Hermite PolynomialsВычислительные схемы для решения задачи Штурма-Лиувилля методом конечных элементов с интерполяционными полиномами ЭрмитаGusevA AГусевАлександр АлександровичLaboratory of Information TechnologiesЛаборатория информационных технологийgooseff@jinr.ruHaiLuong LeХайЛыонг Леluonglehai_tcl@yahoo.com.vnJoint Institute for Nuclear ResearchОбъединённый институт ядерных исследований ул. Жолио-КюриBelgorod State National Research UniversityБелгородский государственный национальный исследовательский университет150420144NO4 (2014)№4 (2014)334908092016Copyright ©; 2014, Гусев А.А., Хай Л.Л.2014Гусев А.А., Хай Л.Л.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/8577Calculation schemes for solving Sturm-Liouville problem with first-, second-and third-type boundary conditions by finite-element method holding a continuity of derivatives of a required solution in its approximated solution are constructed. Recurrence relations for the calculation in analytical form of the interpolating Hermite polynomials with nodes of arbitrary multiplicity are derived. Using the interpolating Hermite polynomials, the basis piecewise-polynomial functions on finite-element grid with nonuniform step, approximating desired solution of the original problem are constructed and used for reduction to a generalized algebraic eigenvalue problem with banded stiffness and mass matrices. The stiffness and mass matrices are formed by sums of integrals containing the given coefficient and potential functions of the original self-adjoint second-order differential equation and the calculated interpolating Hermite polynomials and their derivatives on the finite element grid. The integrals are calculated using Gauss quadratures and in special cases, including the piecewise continuous polynomial coefficient and potential functions in analytical form. The efficiency and rate of convergence of the proposed calculation schemes and elaborated algorithms and programs implemented in Maple and Fortran is proved by benchmark calculations of exactly solvable Sturm-Liouville problems with continuous and piecewise continuous potential functions.Построены вычислительные схемы решения задачи Штурма-Лиувилля с однородными краевыми условиями первого, второго и третьего рода методом конечных элементов, сохраняющие в приближённых решениях свойства непрерывности производных искомых решений. Выведены рекуррентные соотношения для вычисления в аналитическом виде интерполяционных полиномов Эрмита с узлами произвольной кратности. Из интерполяционных полиномов Эрмита сконструированы базисные кусочно-полиномиальные функции на конечноэлементной сетке с переменным шагом, аппроксимирующие решение исходной задачи. Исходная задача Штурма-Лиувилля в базисе кусочно полиномиальных функций редуцируется к обобщённой алгебраической задаче на собственные значения с ленточными матрицами жёсткости и масс. Построены матрицы жёсткости и масс в виде сумм интегралов, содержащих заданные коэффициентные и потенциальные функции исходного самосопряжённого дифференциального уравнения и вычисленные интерполяционные полиномы Эрмита и их производные. Интегрирование выполняется с помощью гауссовых квадратур, а в специальных случаях, включающих кусочно-полиномиальные коэффициентные и потенциальные функции, в аналитическом виде. Эффективность и скорость сходимости предложенных вычислительных схем и разработанных алгоритмов и программ в среде Maple-Fortran доказана численным анализом тестовых расчётов точно решаемых задач Штурма-Лиувилля с непрерывными и кусочно-непрерывными потенциальными функциями.Sturm-Liouville problemcalculation schemefinite element methodinterpolation Hermite polynomialsзадача Штурма-Лиувиллявычислительная схемаметод конечных элементовинтерполяционные полиномы Эрмита1.Котляр В.В., Ковалев А.А., Налимов А.Г. Градиентные элементы микрооптики для достижения сверхразрешения // Компьютерная оптика. - 2009. - Т. 33. - С. 369-378.2.Резанур Рахман К.М., Севастьянов Л.А. Задача одномерного рассеяния на ступенчатом потенциале с несовпадающими асимптотиками // Вестник РУДН. Серия «Физика». - 1997. - № 5. - С. 35-38.3.Севастьянов Л.А., Егоров А.А. Теоретический анализ волноводного распространения электромагнитных волн в диэлектрических плавно-нерегулярных интегральных структурах // Оптика и спектроскопия. - 2008. - Т. 105. - С. 632-640.4.Севастьянов Л.А., Егоров А.А., Севастьянов А.Л. Метод адиабатических мод в задачах плавно-нерегулярных открытых волноведущих структур // Ядерная физика. - 2013. - Т. 76. - С. 252-267.5.Gusev A.A. Algorithm for Computing Wave Functions, Reflection and Transmission Matrices of the Multichannel Scattering Problem in the Adiabatic Representation using the Finite Element Method // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». - 2014. - № 2. - С. 93-114.6.Adiabatic Description of Nonspherical Quantum Dot Models / O. Gusev, A.A. Chuluunbaatar, S.I. Vinitsky, K.G. Dvoyan et al. // Physics of Atomic Nuclei. - 2012. - Vol. 75. - Pp. 1210-1226.7.A Symbolic-Numerical Algorithm for Solving the Eigenvalue Problem for a Hydrogen Atom in the Magnetic Field: Cylindrical Coordinates / O. Chuluunbaatar, A. Gusev, V. Gerdt et al. // Lecture Notes in Computer Science. - 2007. - Vol. 4770. - Pp. 118-133.8.Symbolic-Numeric Algorithms for Computer Analysis of Spheroidal Quantum Dot Models / A.A. Gusev, O. Chuluunbaatar, V.P. Gerdt et al. // Lecture Notes in computer Science. - 2010. - Vol. 6244. - Pp. 106-122.9.Symbolic-Numerical Algorithms to Solve the Quantum Tunneling Problem for a Coupled Pair of Ions / A.A. Gusev, S.I. Vinitsky, O. Chuluunbaatar et al. // Lecture Notes in Computer Science. - 2011. - Vol. 6885. - Pp. 175-191.10.Symbolic-Numerical Algorithm for Generating Cluster Eigenfunctions: Quantum Tunneling of Clusters Through Repulsive Barriers / S. Vinitsky, A. Gusev, O. Chuluunbaatar et al. // Lecture Notes in computer Science. - 2013. - Vol. 8136. - Pp. 427-440.11.Models of Quantum Tunneling of a Diatomic Molecule Affected by Laser Pulses Through Repulsive Barriers / S. Vinitsky, A. Gusev, O. Chuluunbaatar et al. // Proc. SPIE. - 2014. - Vol. 9031. - P. 90311.12.Strang G., Fix G.J. An Analysis of the Finite Element Method. - New York: Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1973.13.Becker E.B., Carey G.F., Tinsley Oden J. Finite Elements. An Introduction. - New Jersey: Englewood Cliffs, Prentice Hall, 1981. - Vol. I.14.Bathe K.J. Finite Element Procedures in Engineering Analysis. - New York: Englewood Cliffs, Prentice Hall, 1982.15.KANTBP: A Program for Computing Energy Levels, Reaction Matrix and Radial Wave Functions in the Coupled-Channel Hyperspherical Adiabatic Approach / O. Chuluunbaatar, A.A. Gusev, A.G. Abrashkevich et al. // Computer Physics Communications. - 2007. - Vol. 177. - Pp. 649-675.16.ODPEVP: A program for Computing Eigenvalues and Eigenfunctions and their First Derivatives with Respect to the Parameter of the Parametric Self-Adjoined Sturm-Liouville Problem / O. Chuluunbaatar, A.A. Gusev, S.I. Vinitsky, A.G. Abrashkevich // Computer Physics Communications. - 2009. - Vol. 180. - Pp. 1358-1375.17.Ramdas Ram-Mohan L. Finite Element and Boundary Element Applications in Quantum Mechanics. - New York: Oxford Univ. Press, 2002.18.Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. - М.: Физматлит, 1962. - Т. 1.19.Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. - М.: Наука, 1989.