Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)8570ArticlesСтатьиResearch ArticleDynamic Control of Constrained Systems and Inverse Problems of DynamicsУправление динамикой связанных систем и обратные задачи динамикиMukharlyamovR GМухарлямовРоберт ГарабшевичDepartment of Theoretical physics and MechanicsКафедра теоретической физики и механикиrobgar@mail.ruGorschkovE AГоршковЕвгений АлександровичDepartment of Theoretical physics and MechanicsКафедра теоретической физики и механики90675@bk.ruPeoples’ Friendship University of RussiaРоссийский университет дружбы народов150120151NO1 (2015)№1 (2015)738208092016Copyright ©; 2015, Мухарлямов Р.Г., Горшков Е.А.2015Мухарлямов Р.Г., Горшков Е.А.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/8570The control problem of dynamic system, containing different physical elements, is solved. Using known dynamic analogies, processes in difficult system are described by the differential-algebraic equations of the classical mechanics. The corresponding differential-algebraic equations include the dynamic equations, the constraints equations and the formulation of purpose of control. Dynamics of system is described by Lagrange equations or by equations in the canonical variables, containing indeterminate multipliers in the right hand sides. The problem of definition of Lagrange multipliers or control functions corresponding to the constraints equations, is reduced to construction of the differential equations systems having partial integrals. Definition of solutions stability of the dynamics equations in relation to the constraints equations is given. The dynamic indicators considering deviations from the constraints equations are entered for ensuring asymptotic stability and constraints stabilization at the numerical solution of the differential equations. The expanded system of dynamics equations, consisting of the initial system dynamics equations and the constraints perturbations equations is under construction. The constraints perturbations equations, constructed on the modified dynamic indicators, allow to define stability conditions and constraints stabilization. Conditions of constraints stabilization, corresponding to the numerical solution of the dynamics equations are given by Euler method and Runge-Kutta method. The solution of a problem of stabilization of vertical position of the rod fixed by cylindrical joint on the cart, making rectilinear movement, is proposed. The control is performed by force acting on the cart and moment applied to the rod.Решается задача управления динамикой системы, содержащей элементы различной физической природы. Используя известные динамические аналогии, процессы в сложной системе описываются уравнениями классической механики. Соответствующие дифференциально-алгебраические уравнения включают в себя уравнения динамики, уравнения связей и формулировку целей управления. Динамика системы описывается уравнениями Лагранжа или уравнениями в канонических переменных, содержащими неопределённые множители в правых частях. Задача определения множителей Лагранжа или управляющих функций, соответствующих уравнениям связей, сводится к построению множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданные частные интегралы. Приводится определение устойчивости решений уравнений динамики по отношению к уравнениям связей. Для обеспечения асимптотической устойчивости и стабилизации связей при численном решении дифференциальных уравнений вводятся динамические показатели, учитывающие отклонения от уравнений связей. Строится расширенная система уравнений динамики, состоящая из уравнений динамики исходной системы и уравнений возмущений связей. Уравнения возмущений связей, построенные по модифицированным динамическим показателям, позволяют определить условия устойчивости и стабилизации связей. Приводятся условия стабилизации связей, соответствующие численному решению уравнений динамики методом Эйлера и методом Рунге-Кутта. Предлагается решение задачи стабилизации вертикального положения стержня, закреплённого шарнирно на тележке, совершающей прямолинейное движение. Управление осуществляется посредством действующей на тележку силы и момента, приложенного к стержню.dynamicscontrolstabilitystabilizationconstraintsconstrained systemsinverse problemsдинамикауправлениеустойчивостьстабилизациясвязисвязанные системыобратные задачи1.Ольсон Г. Динамические аналогии. - М.: Государственное издательство иностранной литературы, 1947. - 224 с.2.Layton R.A. Principles of Analytical System Dynamics. - New York: Springer, 1998. - 158 p.3.Сиразетдинов Т.К. Динамическое моделирование экономических объектов. - Казань: Фэн, 1996. - 223 с.4.Галиуллин А.С. Некоторые вопросы устойчивости программного движения. - Казань: Таткнигоиздат, 1960. - 86 с.5.Галиуллин А.С. Методы решения обратных задач динамики. - М.: Наука, 1986. - 224 с.6.Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую // Прикладная математика и механика. - 1952. - Т. 21, № 6. - С. 659-670.7.Мухарлямов Р.Г. Построение множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданные интегралы // Дифференциальные уравнения. - 1967. - Т. 3, № 2. - С. 180-192.8.Мухарлямов Р.Г. К обратным задачам качественной теории дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. - 1967. - Т. 3, № 10. -С. 1673-1681.9.Мухарлямов Р.Г. О построении дифференциальных уравнений оптимального движения по заданному многообразию // Дифференциальные уравнения. - 1971. - Т. 7, № 10. - С. 1825-1834.10.Мухарлямов Р.Г. О построении множества систем дифференциальных уравнений устойчивого движения по интегральному многообразию // Дифференциальные уравнения. - 1969. - Т. 5, № 4. - С. 688-699.11.Baumgarte J. Stabilization of Constraints and Integrals of Motion in Dynamical Systems // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1972. - No 1. - Pp. 1-16.12.Мухарлямов Р.Г. О построении систем дифференциальных уравнений движения механических систем // Дифференциальные уравнения. - 2003. - Т. 39, № 3. - С. 343-353.13.Мухарлямов Р.Г. Стабилизация движений механических систем на заданных многообразиях фазового пространства // Прикладная математика и механика. - 2006. - Т. 70, № 2. - С. 236-249.14.Мухарлямов Р.Г. Дифференциально-алгебраические уравнения программных движений лагранжевых динамических систем // Известия РАН. Механика твёрдого тела. - 2011. - № 4. - С. 50-61.15.Шорохов С.Г. Математические модели оценки финансовых активов. Учебное пособие. - М.: РУДН, 2012. - 100 с.16.Stabilization of Constrained Mechanical Systems with DAEs and Invariant Manifolds / U. M. Ascher, Hongsheng, Chin et al. // Journal of Mechanics of Structures and Machines. - 1995. - No 23. - Pp. 135-158.17.Mukharlyamov R. G., Assaye W. B. Solving Differential Equation of Motion for Constrained Mechanical Systems // Bulletin of Peoples’ Friendship University of Russia. Series “Mathematics. Information Sciences. Physics”. - 2013. - No 3. - Pp. 81-92.