Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)8566ArticlesСтатьиResearch ArticleOn Solutions of the Maxwell’s Equations from the Viewpoint of Geometrical OpticsО решениях уравнений Максвелла на базе геометрической оптикиMalykhM DМалыхМихаил ДмитриевичFaculty of Materials Sciences Lomonosov; Department of Applied Informatics and Probability Theory Peoples’ Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, Russian Federation, 117198Факультет наук о материалах; Кафедра прикладной информатики и теории вероятностей Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д.6, Москва, Россия, 117198malykhmd@yandex.ruMoscow State UniversityМосковский государственный университет им. М.В. Ломоносова150120151NO1 (2015)№1 (2015)374408092016Copyright ©; 2015, Малых М.Д.2015Малых М.Д.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/8566Traditionally ideas of geometrical optics apply to research of the approximate solutions corresponding to high-frequency limit, but it is known that, e.g. jumps of solutions of the equations of Maxwell satisfy to Huygens’s law also. In the article we indicate the class of exact solutions of the Maxwell’s equations for which the approach of the geometrical optics can be still used. We consider solutions of the Maxwell’s equations with which it is possible to associate orthogonal system of coordinates of (x1,x2,x3) so that the directions of vectors ⃗E and ⃗e2 and also ⃗H and ⃗e3 are coincided. Conditions on Lamé coefficients of this system of coordinates are found: euh1 doesn’t depend on x2 and x3 and logarithmic derivatives eh1h3 h2 and μh1h2 h3 with respect to x1 don’t depend on x2 and x3 respectively. The first condition means that x1-lines are rays of geometrical optics and it gives a reason to call such systems of coordinates as ray systems how it is accepted in geometrical optics. Thus the solution of the Maxwell’s equations can be described as a wave extending along a ray, that is as the solution of the two-dimensional hyperbolic equation. Necessary and sufficient conditions are found for association of such coordinates systems with the solution of the equations of Maxwell: the directions of vectors ⃗E and ⃗H don’t change over time, they are orthogonal each other and consist in involution, that is ⃗E × ⃗ H,rot ⃗E × ⃗ H = 0.Традиционно средства геометрической оптики применяют для отыскания приближенных решений, соответствующих высокочастотному переделу, хотя известно, что, например, разрывы решений уравнений Максвелла распространяются тоже по закону Гюйгенса. В настоящей работе описывается класс точных решений уравнений Максвелла, для описания которых может быть все ещё употреблена геометрическая оптика. Рассмотрены решения уравнений Максвелла, с которыми можно связать ортогональную систему координат (x1,x2,x3) так, чтобы вектор ⃗E был направлен по ⃗e2, а вектор ⃗H - по ⃗e3. Найдены условия, которым должны удовлетворять коэффициенты Ламе этой системы координат: μh1 не должен зависеть от x2 и x3, а логарифмические производные h1h3 h2 и μh1h2 h3 по x1 не должны зависеть от x2 и x3 соответственно. Первое условие означает, что x1-линиями служат лучи геометрической оптики, и это даёт повод называть такие системы координат лучевыми по аналогии с тем, как это принято в геометрической оптике. При этом само решение уравнений Максвелла может быть описано как волна, распространяющая вдоль луча, т.е. как решение двумерного гиперболического уравнения. Указаны необходимые и достаточные условия для того, чтобы с решением уравнений Максвелла можно было ассоциировать такую систему координат. Оказывается, что направления векторов ⃗E и ⃗H не должны меняться со временем, должны быть ортогональны друг другу и состоять в инволюции, то есть ⃗E × ⃗ H,rot ⃗E × ⃗ H = 0.eometrical opticsMaxwell’s equationsrayswavefrontFermat’s principleгеометрическая оптикауравнения Максвеллалучиволновой фронтпринцип Ферма1.Бабич В.М., Булдырев В.С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. - Москва: Наука, 1972.2.Luneburg R.K. Mathematical Theory of Optics. - Providence, Rhode Island: Brown University, 1944.3.Адиабатические моды плавно-нерегулярного оптического волновода: нулевое приближение векторной теории / А.А. Егоров, А.Л. Севастьянов, Э.А. Айрян и др. // Математическое моделирование. - 2010. - Т. 22, № 8. - С. 42-54.4.Свешников А.Г., Могилевский И.Е. Математические задачи теории дифракции. - Москва: Физический факультет МГУ, 2010.5.Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. - М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - Т. 2.6.Малых М.Д. Геометрическая интерпретация тензора электромагнитного поля с ортогональными компонентами ⃗ и ⃗ // Вестник МГУ. Сер. 3. - 2008. - № 3. - С. 6-9.7.Каратеодори К. Вариационное исчисление и дифференциальные уравнения первого порядка в частных производных. - М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2012.