Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)8529ArticlesСтатьиResearch ArticleStructure of Solutions and Dynamic Chaos in Nonlinear Differential EquationsСтруктура решений и динамический хаос в нелинейных дифференциальных уравненияхSidorovS VСидоровСергей ВасильевичInstitute of Gravitation and CosmologyУчебно-научный институт гравитации и космологииsidorovsv@mail.ruPeoples’ Friendship University of RussiaРоссийский университет дружбы народов150220132NO2 (2013)№2 (2013)456308092016Copyright ©; 2013, Сидоров С.В.2013Сидоров С.В.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/8529The structure of solutions in nonlinear dissipative dynamical systems described by differential equations, including systems with chaotic behavior is considered. It is shown that the structure of the solutions in these systems is provided by either set of limit cycles, or tori, and is determined by the spectrum of Floquet Exponents. Important role in forming of structures play limit cycles having a complex but not complex conjugate Floquet Exponents. Examples of using the concept of the structure of solutions of nonlinear differential equations in the study of the formation of solitary traveling waves and the phenomenon of turbulence are presented.Рассмотрена структура решений нелинейных диссипативных систем дифференциальных уравнений, включая системы дифференциальных уравнений с хаотическим поведением. Показано, что структура решений таких систем, представленная предельными циклами или инвариантными торами, определяется спектром показателей Флоке. Важную роль в формировании структуры решений вещественных нелинейных систем играют предельные циклы, имеющие комплексные, но не комплексно сопряжённые показатели Флоке. Приведены примеры использования понятия структуры решений нелинейных дифференциальных уравнений при исследовании образования уединённых бегущих волн и явления турбулентности.nonlinear dissipative differential equationsdynamic chaosbifurcationchaotic attractorsнелинейные диссипативные дифференциальные уравнениядинамический хаосбифуркациихаотические аттракторы1.Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978.2.Пуанкаре А. Избранные труды в трёх томах. Т. II. Новые методы небесной механики. Топология. Теория чисел. — М.: Наука, 1972.3.Андронов А.А., Понтрягин Л.С. Грубые системы // ДАН СССР. — 1937. — Т. 14. — С. 247–251.4.Hopf E. Abzweigung einer Periodischen Losung von einer Stationaren Losung eines Differential Systemen // Berichten der Math. Phys. Klass der Sachlischen Akademie der Wessenschaften zu Leipzig. — 1942. — Vol. 94.5.Turing A. On the Chemical Basic of Morphogenesis // Phil. Trans. Roy. Soc. London. — 1952. — Vol. Ser. A, 237. — Pp. 37–52.6.Режимы с обострением. Эволюция идеи. Законы коэволюции сложных структур / Под ред. И.М. Макаров. Кибернетика: неограниченные возможности и возможные ограничения. — М.: Наука, 1998.7.О классификации решений системы нелинейных диффузионных уравнений в окрестности точки бифуркации. Современные проблемы математики / Т.С. Ахромеева, С.П. Курдюмов, Г.Г. Малинецкий, А.А. Самарский. — ВИНИТИ, 1986. — Т. 28. — С. 207–313.8.Нестационарные структуры и диффузионный хаос / Т.С. Ахромеева, С.П. Курдюмов, Г.Г. Малинецкий, А.А. Самарский. — М.: Наука, 1992.9.Сидоров С.В. О структуре решений в нелинейных дифференциальных уравнениях // Третьи Курдюмовские чтения: Синергетика в естественных науках. Материалы Международной междисциплинарной научной конференции. 19–24 марта 2007 г. — Тверь: Тверской гос. ун-т.: 2007. — С. 127–131.10.Сидоров С.В. О структуре решений в диссипативных системах нелинейных дифференциальных уравнений // Вторая Международная конференция «Системный анализ и информационные технологии». 10–14 сент. 2007 г. — Обнинск: 2007. — С. 280–284.11.Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. — М.: Наука, 1989.12.Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: Наука, 1992.13.Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. — М.: Изд.-во Моск. физико-техн. ин.-та, 1994.14.Сидоров С.В. Об устойчивости численного моделирования периодических решений в нелинейных дифференциальных уравнениях // Динамика неоднородных систем. Труды ИСА РАН. — 2007. — № 11. — С. 78–84.15.Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967.16.Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: ИЛ, 1958.17.Lorenz E.N. Deterministic Nonperiodic Flow // J. Atmos. Sci. — 1963. — Vol. 20. — Pp. 130–144.18.Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. — М.: Меркурий Пресс, 2000.19.Bahwalov N.S., Zhidkov N.P., Kobelkov G.M. Numerical Methods. — Moscow: Nauka, 199220.Manneville P., Pomeau Y. Intermittency and the Lorenz Model. — Paris: I.D.S.E.T., 1981.21.Newhouse S., Ruelle D., Takens F. Occurence of Strange Axion Attractors Near Quasi-Periodic Flows on , > 3 // Comm. Math. Phys. — 1979. — Vol. 64, No 1. — Pp. 35–40.22.Сидоров С.В. Универсальность перехода к хаосу в динамических диссипативных системах дифференциальных уравнений // Динамика неоднородных систем. Труды ИСА РАН. — 2006. — № 9. — С. 51–87.23.Шарковский А.Н. Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя // Укр. мат. журнал. — 1964. — № 1. — С. 61–71.24.Сидоров С.В. О механизме перехода к диффузионному хаосу // Первая международная конференция «Системный анализ и информационные технологии» САИТ-2005, 12–16 сентября 2005 г., Переславль-Залесский, Россия, Труды конференции. В 2 т. — Т. 1. — М.: КомКнига, 2005. — С. 124–129.25.Сидоров С.В. Диффузионный хаос в модели брюсселятора // Динамика неоднородных систем. Труды ИСА РАН. — 2006. — № 10. — С. 91–97.26.Сидоров С.В. Динамика показателей Флоке в каскаде бифуркаций удвоения периода // Дифференциальные уравнения. — 2009. — Т. 45, № 8. — С. 1213–1214.27.Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новые методы хаотической динамики. — М.: УРСС, 2004.28.Magnitskii N.A., Sidorov S.V. New Methods for Chaotic Dynamics. — Singapore: World Scientific, 2006.29.Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. — М.: Наука, 1972.30.Ландау Л.Д. К проблеме турбулентности // ДАН СССР. — 1944. — Т. 44, № 8. — С. 339–342.31.Ruelle D., Takens F. On the Nature Turbulence // Comm. Math. Phys. — 1971. — Vol. 20, No 1. — Pp. 167–192.32.Евстигнеев Н.М., Магницкий Н.А., Сидоров С.В. О природе турбулентности в задаче движения жидкости за уступом // Дифференциальные уравнения. — 2009. — Т. 45, № 1. — С. 69–73.33.Евстигнеев Н.М., Магницкий Н.А., Сидоров С.В. О природе турбулентности в конвекции Рэлея–Бенара // Дифференциальные уравнения. — 2009. — Т. 45, № 6. — С. 890–893.34.Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. — М.: Наука, 1990.35.Скотт Э. Нелинейная наука: рождение и развитие когерентных структур. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.36.Сидоров С. В. О хаотической динамике в решениях вида бегущие волны // Динамика неоднородных систем. Труды ИСА РАН. — 2008. — № 12. — С. 176–184.37.Deissler R. J. Spatially Growing Waves, Intermittency and Convective Chaos in an Open-Flow System // Physica D. — 1987. — Vol. 25, No 1–3. — Pp. 233–260.38.Сидоров С. В. Бегущие волны и динамический хаос в активных средах: численное исследование // Дифференциальные уравнения. — 2008. — Т. 44, № 2. — С. 250–254.