Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)8527ArticlesСтатьиResearch ArticleOptimal Embeddings of Riesz Type PotentialsОптимальные вложения обобщённых потенциалов РиссаMalyshevaA VМалышеваАнастасия ВладимировнаDepartament of nonlinear analysis and optimizationКафедра нелинейного анализа и оптимизацииanamaly@yandex.ruPeoples’ Friendship University of RussiaРоссийский университет дружбы народов150220132NO2 (2013)№2 (2013)283708092016Copyright ©; 2013, Малышева А.В.2013Малышева А.В.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/8527We study Riesz potentials in n-dimensional Euclidean space. They are constructed on rearrangement-invariant spaces as convolutions with kernels with general form, their description of the class of kernels is based by means of some non-negative, decreasing function Φ. Generalized Riesz potentials include classical Riesz potentials spaces. Here we consider as a “base” space RIS Lorentz type space Λ p, 1 < p < ∞. During consideration of the question of finding conditions for embeddings of Riesz type potentials in RIS we used criteria stated by M.L. Goldman, where the operator of Hardy type and inequalities for operators of this type are playing the key role. For the case of Riesz potentials, 1 < p < ∞, the condition of optimal embedding in RIS is established. The case of Riesz type potentials based on space L p, 1 < p < ∞, considered by the authors M.L. Goldman and O.M. Guselnikova, corresponds with the result of this work.В данной статье рассматривается пространство потенциалов типа Рисса на n-мерном евклидовом пространстве. Они строятся на основе перестановочно- инвариантных пространств (ПИП) с помощью свёрток с ядрами общего вида, их конструкция опирается на описание класса ядер с помощью некоторой неотрицательной, убывающей функции Φ. Рассмотрение обобщённых потенциалов Рисса включает пространства классических потенциалов Рисса. Здесь мы будем рассматривать случай, когда в качестве базового пространства ПИП выбраны пространства типа Лоренца Λ p, 1 < p < ∞. При исследовании вопроса о нахождении условий вложения пространств потенциалов типа Рисса в ПИП мы используем критерий вложения, установленный в работе М. Л. Гольдмана, ключевую роль при этом играет оператор типа Харди, определённый на положительной полуоси, а также неравенства для операторов такого типа. Для случая пространств потенциалов Рисса при 1 < p < ∞ сформулирована и доказана теорема об оптимальном вложении в ПИП. Критерии вложения, когда в качестве «базовых» пространств используются пространства L p, 1 < p < ∞, установленные в работе авторов М. Л. Гольдмана и О. М. Гусельниковой, согласуются с результатом данной работы.Riesz potentialsLorentz spacesdecreasing rearrangementrearrangement-invariant spacesoptimal embeddingsпотенциалы типа Риссапространства Лоренцаубывающие перестановкиперестановочно-инвариантные пространстваоптимальные вложения1.Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. — М.: Наука, 1978.2.Bennett C., Sharpley R. Interpolation of Operators. — Pure Appl. Mathem., 1988. — Vol. 129, Pp. 1–93.3.Гольдман М.Л. Перестановочно инвариантные оболочки обобщенных потенциалов Бесселя и Рисса // Доклады РАН. — 2008. — Т. 423, № 1. — С. 151–155.4.Гольдман М.Л. Оптимальные вложения потенциалов типа Бесселя и Рисса // Доклады РАН. — 2009. — Т. 428, № 3. — С. 305–309.5.Гольдман М.Л., Гусельникова О.М. Оптимальные вложения потенциалов типа Бесселя и типа Рисса. Часть 1. // Вестник РУДН, серия «Математика. Информатика. Физика. — 2011. — № 3. — С. 4–16.6.Characterisation of Embeddings in Lorentz Spaces using a Method of Discretisation and Anti-Discretisation / A. Gogatischvili, M. Johansson, C. A. Okpoti, L.-E. Persson // Bull. Austral. Math. Soc. — 2007. — Vol. 76. — Pp. 69–92.7.Мазья В.Г. Пространства Соболева. — Изд-во ЛГУ, 1985. — С. 41–50.8.Gogatischvili A., Pick L. Discretization and Anti-Discretization of Rearrangement- Invariant Norms // Publ. Mat. — 2003. — No 2. — Pp. 311–358.