Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)8521ArticlesСтатьиTime-Periodic Solitons in the Damped-Driven Nonlinear Schr¨odinger EquationПериодические по времени солитоны в нелинейном уравнении Шрёдингера с диссипацией и накачкойZemlyanayaE VЗемлянаяЕлена ВалериевнаЛаборатория информационных технологий; Объединённый институт ядерных исследований; Joint Institute for Nuclear ResearchЛаборатория информационных технологий; Объединённый институт ядерных исследованийelena@jinr.ruAlexeevaN VАлексееваНора VФакультет математики; Кейптаунский Университет; University of Cape TownФакультет математики; Кейптаунский УниверситетNora.Alexeeva@uct.ac.zavan HeerdenT Cван ХерденТомас CФакультет математики; Кейптаунский Университет; University of Cape TownФакультет математики; Кейптаунский Университетtvanheerden@gmail.comJoint Institute for Nuclear ResearchОбъединённый институт ядерных исследованийUniversity of Cape TownКейптаунский Университет020320103.2NO3.2 (2010)№3.2 (2010)13614208092016Copyright ©; 2010, Земляная Е.В., Алексеева Н.V., ван Херден Т.C.2010Земляная Е.В., Алексеева Н.V., ван Херден Т.C.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/8521We study localised attractors of the parametrically driven damped nonlinear SchrЁodinger equation. Time-periodic solitons of this equation are obtained as solutions of the boundaryvalue problem on a two-dimensional domain. We classify stability and bifurcations of periodic solitons and their complexes.Изучаются локализованные аттракторы нелинейного уравнения Шрёдингера с диссипацией и параметрической накачкой. Периодические по времени солитоны этого уравнения получены как решение граничной задачи в двумерной области. Исследуются устойчивость и бифуркации периодических солитонов и их комплексов.temporally periodic solitonsnewtonian iterative schemestabilitybifurcationsnonlinear SchrЁodinger equationнелинейное уравнение Шрёдингерапериодические солитоныньютоновские итерационные схемыустойчивостьбифуркации[Elphick C., Meron E. Localized Structures in Surface Waves // Phys. Rev. A. - 1989. - Vol. 40. - Pp. 3226-3229.][Chen X. N., Wei R. J. Dynamic Behaviour of a Nonpropagating Soliton Under a Periodically Modulated Oscillation // J. Fluid Mech. - 1994. - Vol. 259. - Pp. 291-303.][Longhi S. Ultrashort-Pulse Generation in Degenerate Optical Parametric Oscillators // Opt. Lett. - 1995. - Vol. 20. - P. 695-697.][S/anchez-Morcillo V. J. et al. Vectorial Kerr-cavity solitons // Opt. Lett. - 2000. - Vol. 25. - Pp. 957-959.][Barashenkov I. V., Bogdan M. M., Korobov V. I. Stability Diagram of the Phase- Locked Solitons in the Parametrically Driven, Damped NLS equation // Europhys. Lett. - 1991. - Vol. 15. - Pp. 11-118.][Denardo B. et al. Observations of Localized Structures in Nonlinear Lattices - Domain Walls and Kinks // Phys. Rev. Lett. - 1992. - Vol. 68. - Pp. 730- 1733.][Alexeeva N. V., Barashenkov I. V., Tsironis G. P. Impurity-Induced Stabilisation of Solitons in Arrays of Parametrically Driven Nonlinear Oscillators // Phys. Rev. Lett. - 2000. - Vol. 84. - Pp. 3053-3056.][Alexeeva N. V., Barashenkov I. V., Pelinovsky D. E. Dynamics of the Parametrically Driven NLS Solitons Beyond the Onset of the Oscillatory Instability // Nonlinearity. - 1999. - Vol. 12. - Pp. 103-140.][Bondila M., Barashenkov I. V., Bogdan M. M. Topography of Attractors of the Parametrically Driven Damped NLS Equation // Physica D.-1995.-Vol. 87.- Pp. 314-320.][Barashenkov I. V., Zemlyanaya E. V. Stable Complexes of Parametrically Driven, Damped NLS Solitons // Phys. Rev. Lett. - 1999. - Vol. 83. - Pp. 2568-2571.][Zemlyanaya E. V., Barashenkov I. V., Alexeeva N. V. Temporally-Periodic Solitons of Parametrically Driven Damped NLS // Lecture Notes in Computer Sciences. - 2009. - Vol. 5434. - Pp. 139-150.][Zemlyanaya E. V., Barashenkov I. V. Numerical Study of Multisoliton Complexes in Parametrically Driven, Damped NLS Equation // Math. Modelling. - 2004. - Vol. 16, issue 11. - Pp. 3-14.][Zemlyanaya E. V., Alexeeva N. V. Oscillating Solitons of the Damped-Driven NLS Equation // Theor. and Math. Physics. - 2009. - Vol. 159. - Pp. 536-544.]