Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)8489ArticlesСтатьиMulti-Layer Schemes for Solving the Time-Dependent Shr.odinger EquationМногослойные схемы для численного решениянестационарного уравнения ШрёдингераChuluunbaatarOЧулуунбаатарОJoint Institute for Nuclear ResearchОбъединённый институт ядерных исследований-Joint Institute for Nuclear ResearchОбъединённый институт ядерных исследований150120081NO1 (2008)№1 (2008)435308092016Copyright ©; 2008, Чулуунбаатар О.2008Чулуунбаатар О.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/8489The algorithm based on unitary evolution operator decomposition to generate in a MAPLE and REDUCE packages multi-layer implicit schemes for numerical solving the time-dependent Shroedinger equation is presented. The optimal methods for construction of additional gauge transformations to extract symmetric operators needed for generation economical algebraic evolution schemes with respect to spatial variables by the finite element method are studied. The efficiency of the developed computational schemes till sixth order with respect to the time step and till seven order with respect to the spatial step, are demonstrated on the integrable model of oscillator in a time-dependent external field. Представлен алгоритм генерации в среде MAPLE и REDUCE многослойных неявных схем для численного решения нестационарного уравнения Шрёдингера на основе факторизации унитарного оператора эволюции. Исследуются оптимальные методы построения дополнительных калибровочных преобразований, позволяющие выделять симметричные операторы, необходимые для генерации экономичных алгебраических эволюционных схем по пространственной переменной методом конечных элементов. Эф- фективность сгенерированных схем до шестого порядка точности по шагу временной переменной и до седьмого порядка точности по шагу пространственной переменной демонстрируется численным анализом интегрируемой модели осциллятора во внешнем поле, зависящем от времени нестационарное уравнение Шрёдингеразадача Коширазложение оператора эволюциикалибровочные преобразованияоператорно-разностные многослойные схемыметод конечных элементов1.Coulomb-Volkov approach of atom ionization by intense and ultrashort laser pulses / G. Duchateau, E. Cormier, H. Bachau, R. Gayet // Phys. Rev. A. - Vol. 63. - 2001. - Pp. 053411-1-53411-11.2.Butkovskiy A. G., Samoilenko Y. I. Control of Quantum-Mechanical Processes and Systems. - Dordrecht Hardbound: Kluwer Academic Publishers, 1990.3.Киржниц Д. А. Полевые методы теории многих частиц. - М.: Госатомиздат, 1963.4.Misicu S., Rizea M., Greiner W. Emission of electromagnetic radiation in - decay // J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. - Vol. 27. - 2001. - Pp. 993-1003.5.Khodyrev V. A. The treatment of energy loss of induced current density // Advances in quantum chemistry. - Vol. 45. - 2004. - Pp. 124-158.6.Demkov Y. N., Meyer J. D. A sub-atomic microscope, superfocusing in channeling and close encounter atomic and nuclear reactions // Eur. Phys. J. B. - Vol. 42. - 2004. - Pp. 361-365.7.Bankov N. G., Kaschiev M. S., Vinitsky S. I. Adaptive method for solving the time-dependent Schr.odinger equation // Comptes rendus de lAkademie bulgare des Scienses. - Vol. 55. - 2002. - Pp. 25-30.8.Adaptive numerical methods for time-dependent Schroedinger equation in atomic and laser physics / V. L. Derbov, M. S. Kaschiev, V. V. Serov et al // Proc. SPIE. - Vol. 5069. - 2003. - Pp. 52-60.9.Marchuk G. I. Partial Differential Equations. II SYNSPADE-1970. - New-York, London: Academic Press, 1971.10.Самарский А. А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1977.11.Стренг Г., Фикс Д. Теория метода конечных элементов. - М.: Мир, 1977.12.Bathe K. J. Finite Element Procedures in Engineering Analysis. - New-York: Englewood Cliffs, Prentice Hall, 1982.13.Gusev A., Gerdt V. a. o. Symbolic-numerical algorithm for solving the timedependent Shr.odinger equation by split-operator method // Proc of the eigth Workshop on Computer Algebra in Scientific Computing, (September 12-16 2005, Kalamata, Greece). - 2005.14.Сравнение алгоритмов для нормализации и квантования полиномиальных гамильтонианов / А. А. Гусев, Н. Чеканов, В. А. Ростовцев и др // Программирование. - № 2. - 2004. - С. 27-36.15.LINA01: A REDUCE program for the normalization of polynomial Hamiltonians / Y. A. Ukolov, N. A. Chekanov, A. A. Gusev et al // Computer Physics Communications. - Vol. 166. - 2005. - Pp. 66-80.16.Puzynin I. V., Selin A. V., Vinitsky S. I. A high-order accuracy method for numerical solving of the time-dependent Schr.odinger equation // Computer Physics Communications. - Vol. 123. - 1999. - Pp. 1-6.17.Puzynin I. V., Selin A. V., Vinitsky S. I. Magnus-factorized method for numerical solving the time-dependent Schr.odinger equation // Computer Physics Communications. - Vol. 126. - 2000. - Pp. 158-161.18.Селин А. В. Метод приближенного решения линейного эволюционного уравнения в гильбертовом пространстве //ЖФМ и МФ. - № 42. - 2002. - С. 937- 949.19.Finite-element solution of the coupled-channel Schr.odinger equation using highorder accuracy approximations / A. G. Abrashkevich, D. G. Abrashkevich, M. S. Kaschiev, I. V. Puzynin // Computer Physics Communications. - Vol. 85. - 1995. - Pp. 40-65.20.Abrashkevich A. G., Kaschiev M. S., Vinitsky S. I. A New Method for Soling an Eigenvalue Problem for a System Of Three Coulomb Particles within the Hyperspherical Adiabatic Representation // J. Comp. Phys. - Vol. 163. - 2000. - Pp. 328-348.21.Wilcox R. M. Exponential operators and parameter differentiation in quantum physics // J. Math. Phys. - Vol. 8. - 1967. - Pp. 962-982.22.Magnus W. On the exponential solution of differential equations for a linear operator // Commun. Pure Appl. Math. - Vol. 7. - 1954. - Pp. 649-673.23.Crank J., Nicholson P. A practical method for numerical evaluation of solutions of partial differential equations of the heat conduction type // Proc Cambridge Philos. Soc. - Vol. 43. - 1947. - Pp. 50-67.24.Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. т.1. - М.: Физматлит, 1959.25.http://www.nag.co.uk/numeric/numerical\_libraries.asp.26.Калиткин Н. Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978.27.Физическая энциклопедия. т.5. - М.: Большая Россйская энциклопедия, 1998.28.Yukalov V. I., Marzlin K.-P., Yukalova E. P. Resonant generation of topological modes in trapped Bose-Einstein gases // Phys. Rev. A. - Vol. 69. - 2004. - Pp. 023620-1-023620-16.29.Olver P. J. Application of Lie groups to differential equations. - New-York, Tokyo: Springer-Verlag, 1986.30.Обобщенный непрерывный аналог метода Ньютона для численного исследования некоторых нелинейных кванто-полевых моделей / И.В. Пузынин, И.В. Амирханов, Е.В. Земляная и др // Физика элементарных частиц и атомного ядра. - Т. 30. - 1999. - С. 210-268.