Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)8466ArticlesСтатьиSome Symbolic-Numeric Methods for Calculation of Energy Eigenvalues for the Quantum Anharmonic OscillatorsНекоторые символьно-численные методы вычисления энергетических спектров квантовых ангармонических осцилляторовFlorinskyV VФлоринскийВ ВКафедра математического анализа; Белгородский государственный университет; Belgorod State UniversityКафедра математического анализа; Белгородский государственный университет-ChekanovN AЧекановН АКафедра математического анализа; Белгородский государственный университет; Belgorod State UniversityКафедра математического анализа; Белгородский государственный университет-Belgorod State UniversityБелгородский государственный университет150120091NO1 (2009)№1 (2009)455508092016Copyright ©; 2009, Флоринский В.В., Чеканов Н.А.2009Флоринский В.В., Чеканов Н.А.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/8466One-dimensional Shr.odinger's equation for the quartic, sexic and octic anharmonical oscillators is considered. The energy spectra of this quantum oscillators by the quantization of classical Lindstedt-Poincare trajectories, by the method of the Deprit-Hori normal forms and by using the power series are obtained. The comparison of obtained results are performed. Решается одномерное уравнение Шрёдингера для ангармонических осцилляторов с четвёртой, шестой и восьмой степенью нелинейности. Для этих систем найдены энергетические спектры с помощью квантования классических траекторий, вычисленных по методу Линдштедта-Пуанкаре, методом нормальных форм Депри-Хори, а также с помощью степенных рядов. Выполнено сравнение полученных результатов между собой и с известными из литературы результатами. ангармонические осцилляторыуравнение ШрёдингерафункцияГамильтонаметод Линдштедта-Пуанкаренормальные формыквантованиестепенныерядыэнергетический спектр1.Фрёман Н., Фрёман П. У. ВКБ-приближение. - М.: Мир, 1967. - С. 168.2.Ульянов В. В. Интегральные методы в квантовой механике. - Харьков: Изд- во ХГУ, 1982. - С. 160.3.Славянов С. Ю. Асимптотика решений одномерного уравнения Шредингера. - Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1990. - С. 256.4.Глазунов Ю. Т. Вариационные методы. - Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2006. - С. 470.5.Уилкинсон Д., Райнш К. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. - М.: Машиностроение, 1976. - С. 392.6.Пузынин И. В. и др.. Обобщенный непрерывный аналог метода Ньютона для численного исследования некоторых нелинейных квантово-полевых моделей // ФЭЧАЯ. - 1999. - Т. 30, вып. 1. - С. 210-265.7.Турбинер А. В. Задачи о спектре в квантовой механике и процедура «нелинеаризации» // УФН. - 1984. - Т. 144, вып. 1. - С. 35-78.8.Eastes W., Marcus R. A. Semiclassical Calculation of Bound States of a Multidimensional System // J. Chem. Phys. - 1974. - Vol. 61, No 10. - Pp. 4301-4306.9.Соловьев Е. А. Адиабатические инварианты и проблема квазиклассического квантования многомерных систем // ЖЭТФ. - 1978. - Т. 75, вып. 4. - С. 1261-1268.10.Miller W. H. Semiclassical Theory of Atom-Diatom Collision: Path Integral and the Classical -matrix // J.Chem.Phys. - 1970. - Vol. 53, No 5. - Pp. 1949-1959.11.Jaffe L. G. Large Limits as Classical Mechanics // Rev. Mod. Phys. - 1982. -Vol. 54. - Pp. 407-435.12.Adhikari R., Dutt R. Exact Solutions for Polynomial Potentials Using Supersymmetry In-Spired Factorization Method // Phys. Lett. - 1989. - Vol. A141, No 1,2. - Pp. 1-8.13.Bender C. M., Wu T. T. Anharmonic Oscillator // Phys. Rev. - 1969. - Vol. 184, No 5. - Pp. 1231-1260.14.Fernandez M. F. On an Alternative Perturbation Method in Quantum Mechanics // J. Phys. A: Math. Gen. - 2006. - Vol. 39. - Pp. 1683-1689.15.Banerjee K. General Anharmonic Oscillator // Proc. R. Soc. Lond. - 1978. - Vol. A.364. - Pp. 265-275.16.Ivanov I. A. Sextic and Octic Anharmonic Oscillator: Connection Between Strong- Coupling and Weak-Coupling Expansions // J. Phys. A: Math. Gen. - 1998. - Vol. 31. - Pp. 5697-5704.17.Swimm R. T., Delos J. B. Semiclassical Calculation of Vibrational Energy Levels for Non-Separable Systems Using Birkhoff-Gustavson Normal Form // J. Chem. Phys. - 1979. - Vol. 71. - Pp. 1706-1716.18.Robnik M. The Algebraic Quantization of the Birkhoff-Gustavson Normal Form // J. Phys. A: Math. Gen. - 1984. - Vol. 17. - Pp. 109-130.19.Ali M. K. The Quantum Normal Form and its Equivalents // J. Math. Phys. - 1985. - Vol. 26, No 10. - Pp. 2565-2572.20.Nikolaev A. S. On the Diagonalization of Quantum Birkhoff-Gustavson Normal Form // J. Math. Phys. - 1996. - Vol. 37, No 6. - Pp. 2643-2661.21.Чеканов Н. А. Квантование нормальной формы Биркгофа-Густавсона // ЯФ. - 1989. - Т. 50, вып. 8. - С. 344-346.22.Esposti M. D., Graffi S., Herczynski J. Quantization of the Classical Lie Algorithm in the Bargmann Representation // Ann. Phys. - 1991. - Vol. 209, No 2. - Pp. 364-392.23.Koscik P., Okopinska A. The Optimized Rayleigh-Ritz Scheme for Determining the Quantum-Mechanical Spectrum // J. Phys. A: Math. Theor. - 2007. - Vol. 40. - Pp. 10851-10869.24.Leonard D., Mansfield P. Solving the Anharmonic Oscillator: Tuning the Boundary Condition // J. Phys. A: Math. Theor. - 2007. - Vol. 40. - Pp. 10291-10299.25.Воронин А. И., Ошеров В. И. Динамика молекулярных реакций. - М.: Наука, 1990. - С. 424.26.Itzykson C., Zuber J. B. Quantum Field Theory. - New-York: McGraw-Hill, 1980.27.Kittle C. Introduction in Solid State Physics. - New York: Willey, 1986.28.Pathria R. K. Statistical Mechanics. - Oxford: Pergamon, 1986.29.Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. - М.: Мир, 1984. - С. 528.30.Y. A. Ukolov, N. A. Chekanov, A. A. Gusev et al // Comp. Phys. Commun. - 2005. - Vol. 166, No 1. - Pp. 66-80.