Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)8413ArticlesСтатьиResearch ArticleNew Method for Constructing the Oscillator Functions of a Quantum System of Identical Particles in Symmetrized CoordinatesНовый метод построения осцилляторных функций квантовой системы тождественных частиц в симметризованных координатахGusevA AГусевАлександр АлександровичLaboratory of Information TechnologiesЛаборатория информационных технологийgooseff@jinr.ruJoint Institute for Nuclear ResearchОбъединённый институт ядерных исследований150320133NO3 (2013)№3 (2013)526708092016Copyright ©; 2013, Гусев А.А.2013Гусев А.А.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/8413The quantum model of a cluster, consisting of A identical particles, coupled by the internal pair interactions and affected by the external field of a target, is formulated in the new symmetrized coordinates. A new method and symbolic algorithm for generating (A − 1)-dimensional oscillator eigenfunctions, symmetric or antisymmetric with respect to permutations of A identical particles, is elaborated and implemented using the MAPLE computer algebra system. Examples of generating the symmetrized coordinate representation for composite systems of several identical particles in one-dimensional Euclidean space are given and their symmetry properties are analyzed. The systems composed from three to six particles in one dimensional Euclidean space were analyzed a correspondence between the representations of the symmetry groups D3 and Td for A = 3 and A = 4 and symmetric or antisymmetric oscillator functions was found. It is shown that the transformations of (A− 1)-dimensional oscillator functions from the symmetrized coordinates to the Jacobi coordinates, reducible to permutations of coordinates and (A − 1)-dimensional finite rotation, are implemented by means of the (A − 1)-dimensional oscillator Wigner functions. The examples of construction of the symmetric or antisymmetric oscillator functions in closed analytical form by means of mathematical induction and the algorithm are given. The approach is aimed at solving the problem of tunnelling the clusters, consisting of several identical particles, through repulsive potential barriers of a target.Сформулирована в новых симметризованных координатах квантовая модель кластера, состоящего из A тождественных частиц с внутренними парными взаимодействиями, во внешнем поле мишени. Разработан новый метод и реализован в системе компьютерной алгебры MAPLE символьный алгоритм построения собственных функций (A − 1)-мерного осциллятора симметричных или антисимметричных относительно перестановок A частиц. Даны примеры построения симметричных и антисимметричных функций составной системы из нескольких тождественных частиц в одномерном евклидовом пространстве и выполнен анализ свойств симметрии решений. Выполнен анализ систем от трёх до шести частиц в одномерном евклидовом пространстве и выявлено соответствие между представлениями групп симметрии D3 и Td для A = 3 и A = 4 и симметризованными или антисимметризованными осцилляторными функциями. Показано, что преобразование (A − 1)-мерных осцилляторных функций в симметризованных координатах к якобиевским координатам сводится к перестановке координат и (A − 1)-мерных конечных вращений, реализованных с помощью (A − 1)-мерных осцилляторных функций Вигнера. Даны примеры построения с помощью предложенного алгоритма и метода математической индукции симметризованных или антисимметризованных осцилляторных функций в замкнутом аналитическом виде. Подход ориентирован на решение задачи туннелирования кластеров, состоящих из нескольких тождественных частиц через отталкивающие барьеры мишени.method and algorithmidentical particlessymmetric or antisymmetric oscillator functionssymmetrized coordinatesметод и алгоритмтождественные частицысимметричные или антисимметричные осцилляторные функциисимметризованные координаты1.Moshinsky M., Smirnov Y.F. The Harmonic Oscillator in Modern Physics. — Informa Health Care, Amsterdam, 1996.2.Kramer P., Moshinsky M. Group Theory of Harmonic Oscillators (III). States with Permutational Symmetry // Nucl. Phys. — 1966. — Vol. 82. — Pp. 241–274.3.Aguilera-Navarro V.C., Moshinsky M., Yeh W.W. Harmonic-Oscillator States and the. Particle I. Form Factor for Symmetric States in Configuration Space // Ann. Phys. — 1969. — Vol. 51. — Pp. 312–336.4.Aguilera-Navarro V.C., Moshinsky M., Yeh W.W. Harmonic-Oscillator States and the. Particle II. Configuration-Space States of Arbitrary Symmetry // J. Math. Phys. — 1969. — Vol. 54. — Pp. 379–393.5.L.evy-Leblond J.-M. Global and Democratic Methods for Classifying N Particle States // Ann. Phys. — 1966. — Vol. 7. — Pp. 2217–2229.6.Неудачин В.Г., Смирнов Ю.Ф. Нуклонные ассоциации в легких ядрах. — М.: Наука, 1969.7.Novoselsky A., Katriel J. Non-Spurious Harmonic Oscillator States with Arbitrary Symmetry // Ann. Phys. — 1989. — Vol. 196. — Pp. 135–149.8.Barnea N., Novoselsky A. Construction of Hyperspherical Functions Symmetrized with Respect to the Orthogonal and the Symmetric Groups // Ann. Phys. — 1997. — Vol. 256. — Pp. 192–225.9.Вильдермут Л., Тан Я. Единая теория ядра. — М.: Мир, 1980.10.The General Harmonic-Oscillator Brackets: Compact Expression, Symmetries, Sums and Fortran Code / G.P. Kamuntavi.cius, R.K. Kalinauskas, B.R. Barrett et al. // Nucl. Phys. A. — 2001. — Vol. 695. — Pp. 191–201.11.Exact Eigenfunctions of N-body System with Quadratic Pair Potential / Z. Wang, A. Wang, Y. Yang, L. Xuechao // arXiv. — 2012. — P. 1108.1607v4.12.Пеньков Ф.М. Квантовая прозрачность барьеров для структурных частиц // ЖЭТФ. — 2000. — Т. 118. — С. 806–815.13.Symbolic-Numerical Algorithms to Solve the Quantum Tunneling Problem for a Coupled Pair of Ions / A.A. Gusev, S.I. Vinitsky, O. Chuluunbaatar et al. // Lecture Notes in Computer Science. — 2011. — Vol. 6885. — Pp. 175–191.14.Tetrahedral Symmetry in Nuclei: New Predictions Based on the Collective Model / A. Dobrowolski, A. G.o.zd.z, A. Mazurek, K. Dudek // International Journal of Modern Physics E. — 2011. — Vol. 20. — Pp. 500–506.15.Fock V.A. N.aherungsmethode zur L.osung des quantenmechanischen Mehrk.orperproblems // Zs. Phys. — 1930. — Vol. 61. — Pp. 126–148.16.Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам. — М.: Мир, 1981.17.Kanada-En’yo Y., Hidaka Y..-cluster Structure and Density Waves in Oblate Nuclei // Phys. Rev. C. — 2011. — Vol. 84. — Pp. 014313–1–16.18.Jepsent D.W., Hirschfelder J.O. Set of Coordinate Systems which Diagonalize the Kinetic Energy Of Relative Motion // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. — 1959. — Vol. 45. — Pp. 249–256.19.Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. — М.: Наука, 1979.20.Baker Jr.G.A. Degeneracy of the n-Dimensional, Isotropic, Harmonic Oscillator // Phys. Rev. — 1956. — Vol. 103. — Pp. 1119–1120.21.Pogosyan G.S., Smorodinsky Y.A., Ter-Antonyan V.M. Oscillator Wigner Functions // J. Phys. A. — 1981. — Vol. 14. — Pp. 769–776.22.Варшалович Д.А., Москалев А.Н., Херсонский В.К. Квантовая теория углового момента. — Л.: Наука, 1975.23.Квантовые системы со скрытой симметрией. Межбазисные разложения /Л.Г. Мардоян, Г.С. Погосян, А.Н. Сисакян, В.М. Тер-Антонян. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.24.Levy-Leblond J.-M. Generalized Uncertainty Relations for Many-Fermion System // Phys. Lett. A. — 1968. — Vol. 26. — Pp. 540–541.