Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)8411ArticlesСтатьиResearch ArticleNecessary and Sufficient Conditions for the Potentiality of Nonlinear Differential-Difference Operator in Partial DerivativeНеобходимые и достаточные условия потенциальности для нелинейного дифференциальноразностного оператора в частных производныхKolesnikovaI AКолесниковаИрина АнатольевнаDepartment Mathematical Analisys and Theory of FunctionsКафедра математического анализа и теории функцийvipkolesnikov@mail.ruKostinaYa DКостинаЯрослава ДмитриевнаDepartment Mathematical Analisys and Theory of FunctionsКафедра математического анализа и теории функцийjasenka@mail.ruPeoples’ Friendship University of RussiaРоссийский университет дружбы народов150320133NO3 (2013)№3 (2013)364108092016Copyright ©; 2013, Колесникова И.А., Костина Я.Д.2013Колесникова И.А., Костина Я.Д.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/8411The purpose of the present paper is to investigate the potentiality of the differential difference operator with deviant arguments and to construct the functional, if the given operatoris a potential on a given set relatively to the some special bilinear form, i.e. the problem ofexistence of solutions of inverse problems of the calculus of variations for partial differentialdifference operators is investigated. Let ..,.. be normed linear spaces over the field of real numbers R. Take any operator .. : ..(..) > ..(..), where ..(..) . .., ..(..) . .. . A limit if it exists, is called the G.ateaux differential of .. at the point ... The operator ....(.., ·): .. > .. is called the G.ateaux derivative of .. at .. and will be denoted by ..... . Its domain of definition ..(..... ) consists of elements . . .. such that (.. + ...) . ..(..) for all .. sufficiently small. We obtain necessary and sufficient conditions for the adjusted partial differential difference op..,.. erator of ..class. The nonlinear differential operator of the second order and the nonlinear ..,.. differential operator of the second order with deviant arguments is consider as an example. Using the obtained conditions of potentiality corresponding functionals are constructed.В статье исследуется на потенциальность дифференциальный оператор в частных производных с отклоняющимися аргументами на заданной области определения и относительно некоторой специальной билинейной формы. В случае потенциальности строится соответствующий функционал, т.е. исследуется вопрос существования решения обратной задачи вариационного исчисления для дифференциально-разностного оператора в частных производных. ..,.. билинейные нормированные линейные пространства над полем действительных чисел R. Оператор действует следующим образом .. : ..(..) > ..(..), где ..(..) . .., ..(..) . .. . Вводится понятие дифференциала Гато оператора .. в точке .. и оператора ....(.., ·): .. > .. , который есть производная Гато ....(.., ·): .. > .. . Область определения ..(..... ) состоит из элементов . . .., таких что (.. + ...) . ..(..) для любого достаточно малого ... Для заданного дифференциально-разностного оператора ..,.. в частных производных класса ....,.. ,получены необходимые и достаточные условия потенциальности. В качестве примеров рассматриваются нелинейный дифференциальный оператор второго порядка без отклонения аргументов и с отклоняющимися аргументами. С помощью полученных условий потенциальности построены соответствующие функционалы.bilinear formdifferential operatordifferential-differencefunctionalбилинейная формадифференциальный операторотклонение аргументафункционал1.Variational Principles for Nonpotential Operators. — M.: J. Math. Sci, 1994. — Vol. 68, Pp. 275–398.2.Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. — М.: Наука, 1971. — С. 296.3.К общей теории уравнений с отклоняющимся аргументом // ДАН СССР 120. — 1958. — № 4. — С. 697–700.4.О некоторых свойствах эллиптических и параболических функционально-дифференциальных уравнений // УМН. — 1996. — Т. 307, № 51. — С. 169– 170.5.Skubachevskii A.L. Elliptic Functional Differential Equations and Applications. — Basel-Boston-Berlin: Birkh.auser, 1997.6.Savchin V.M. Helmholtz’s Conditions of Potentiality for PDE with Deviating Arguments // Theses of the 35th Scientific Conference of the Departement of Physico-Mathematical and Natural Science. — M.: PFUR, 1994. — P. 25.7.On Potentiality Conditionsfor Partial Differential-Difference Equations // Differents. Uravn. — 2010. — Vol. 46, No 3. — Pp. 1–4.8.Колесникова И.А. Об условиях потенциальности дифференциальных уравнений в частных производных с отклоняющимися аргументами // Дифференциальные уравнения. — 2004. — Т. 40, № 8. — С. 1131–1132.9.Колесникова И.А. Структура дифференциально-разностного оператора второго порядка, допускающего вариационный принцип // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». — 2012. — № 3. — С. 25–34.