Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)8395ArticlesСтатьиResearch ArticleMathematical Modeling of Fluid Dynamics in Evaporating Drop with Taking into Account Capillary and Gravitational ForcesМатематическое моделирование динамики жидкости в испаряющейся капле с учётом капиллярных и гравитационных силKolegovK SКолеговКонстантин СергеевичAstrakhan State University 20a, Tatischev str., Astrakhan, Russia, 414056Астраханский государственный университет ул. Татищева, д. 20а, Астрахань, Россия, 414056k_k_s_87@mail.ruLobanovA IЛобановАлексей ИвановичMoscow Physics Technical Institute (State University) 9, Institutskiy per., Dolgoprudny, Moscow region, Russia, 141700 Kabardino-Balkarian State University 173, Chernyshevskogo st., Nal’chik, Russia, 360004Московский физико-технический институт (государственный университет) Институтский пер., д. 9, Долгопрудный, Московская область, Россия, 141700 Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х. М. Бербекова ул. Чернышевского, д. 173, г. Нальчик, Россия, 360004alexey.i.lobanov@gmail.comCaspian Institute of Sea and River TransportКаспийский институт морского и речного транспорта - филиал ФБОУ ВПО «ВГАВТ» в г. АстраханьMoscow State Academy of Water TransportМосковская государственная академия водного транспорта150220142NO2 (2014)№2 (2014)37538008092016Copyright ©; 2014, Колегов К.С., Лобанов А.И.2014Колегов К.С., Лобанов А.И.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/8395An one-dimensional mathematical model described evolution of drop shape and viscous fluid dynamics (vertically averaged radial flow of the liquid) as the result of evaporation from impermeable horizontal surface is presented in this work. The model considers the influence of volume and capillary forces. Non-steady-state approach has been used to describe the process mathematically. The continuity equation and the motion equation for the case of a system with a variable mass are solved numerically with using standard tools of mathematical package Maple. We carry out calculations for cases of different sizes of water drop volumes. Results of modeling have shown that profile of drop which is bigger in size of capillary length (Bond number is greater than unity) differs from shape of spherical segment. The surface of such drop is almost flat. We explain it by domination of the gravity over a surface tension force. The flow of compensation nature is present in evaporated drops of different volumes what is coordinated with experimental data of other authors. Thus radial fluid flow is result of work of both capillary and gravitational forces. The results which we have got will help to describe the coffee ring effect in macrodrops in future.В этой работе представлена одномерная математическая модель, описывающая эволюцию профиля капли и динамику вязкой жидкости (усреднённую по высоте жидкого слоя скорость радиального течения) в результате испарения с горизонтальной непроницаемой поверхности. Модель учитывает влияние объёмной и капиллярной силы. Для математического описания процесса используется нестационарный подход. Уравнение неразрывности и уравнение движения для случая системы переменной массы решаются численно стандартными средствами математического пакета Maple. Расчёты проведены для случаев капель воды разных объёмов. Результаты моделирования показывают, что форма капли, размер которой превышает капиллярную длину (число Бонда больше единицы), отличается от формы сферического сегмента. Поверхность такой капли уплощена. Это объясняется тем, что в каплях большого объёма сила тяжести доминирует над силой поверхностного натяжения. Течение компенсационной природы присутствует в испаряющихся каплях разных объёмов, что согласуется с экспериментальными данными других авторов. Таким образом, радиальное течение жидкости может быть вызвано работой как капиллярных, так и гравитационных сил. Полученные нами результаты в дальнейшем послужат описанию эффекта кофейных колец в макрокаплях.evaporating dropstate equationgravitational and capillary forcesradial flowevolution of drop shapeиспаряющаяся капляуравнение состояниягравитационные и капиллярные силырадиальное течениеэволюция формы капли1.Sefiane K. Patterns from Drying Drops // Advances in Colloid and Interface Science. - 2013. - http://dx.doi.org/10.1016/j.cis.2013.05.002.2.Routh A. F. Drying of Thin Colloidal Films // Reports on Progress in Physics. - 2013. - Vol. 76, No 4. - P. 046603.3.Contact Line Deposits in an Evaporating Drop / R.D. Deegan, O. Bakajin, T. F. Dupont et al. // Physical Review E. - 2000. - Vol. 62, No 1. - Pp. 756-765.4.Fischer B.J. Particle Convection in an Evaporating Colloidal Droplet // Langmuir. - 2002. - Vol. 18, No 1. - Pp. 60-67.5.Sessile Drop Wettability in Normal and Reduced Gravity / A. Diana, M. Castillo, D. Brutin, T. Steinberg // Microgravity Science and Technology. - 2012. - Vol. 24, No 3. - Pp. 195-202.6.Bartashevich M.V., Kuznetsov V.V., Kabov O.A. Gravity Effect on the Axisymmetric Drop Spreading // Microgravity Science and Technology. - 2010. - Vol. 22, No 1. - Pp. 107-114.7.Коновалов В.И., Пахомов А.Н., Пахомова Ю.В. Геометрия, циркуляция и тепломассоперенос при испарении капли на подложке // Вестник ТГ-ТУ. - 2011. - Т. 17, № 2. - С. 371-387.8.Barash L.Y. Influence of Gravitational Forces and Fluid Flows on the Shape of Surfaces of a Viscous Fluid of Capillary Size // Physical Review E. - 2009. - Vol. 79, No 2. - P. 025302.9.Колегов К.С., Лобанов А.И. Сравнение квазистационарной и нестационарной математических моделей течений в испаряющейся капле // Компьютерные исследования и моделирование. - 2012. - Т. 4, № 4. - С. 811-825.10.Hamamoto Y., Christy J.R.E., Sefiane K. Order-of-Magnitude Increase in Flow Velocity Driven by Mass Conservation During the Evaporation of Sessile Drops // Phys. Rev. E. - 2011. - Vol. 83, issue 5. - P. 051602. - http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.83.051602.