Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)8393ArticlesСтатьиResearch ArticleComplexes of Localized States in Ac-Driven Nonlinear Schr¨odinger Equation and in Double Sine-Gordon EquationКомплексы локализованных структур в нелинейном уравнении Шрёдингера с диссипацией и прямой накачкой и в уравнении двойного синус-ГордонаZemlyanayaE VЗемлянаяЕлена Валериевнаelena@jinr.ruAlexeevaN VАлексееваНора ВDepartment of MathФакультет математикиnora.alexeeva@uct.ac.zaAtanasovaP HАтанасоваПавлина Христоваatanasova@uni-plovdiv.bgJoint Institute for Nuclear ResearchОбъединённый институт ядерных исследованийUniversity of Cape TownУниверситет КейптаунаUniversity of Plovdiv “Paisii Hilendarski”Университет «Паисий Хилендарски»150220142NO2 (2014)№2 (2014)36336808092016Copyright ©; 2014, Земляная Е.В., Алексеева Н.В., Атанасова П.Х.2014Земляная Е.В., Алексеева Н.В., Атанасова П.Х.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/8393Complexes of localized states are numerically analyzed in two dynamical systems: directly driven nonlinear Schr¨odinger equation (NLS) and double sine-Gordon equation (2SG). Both systems have a wide range of physical applications. Our numerical approach is based on the numerical continuation with respect to the control parameters of the quiescent (stationary) solutions and stability and bifurcation analysis of the linearized eigenvalue problem. Multisoliton complexes of the NLS equation are studied in the undamped and the weak damping regimes. We show that in the weak damping case the directly driven NLS equation holds stable and unstable multi-soliton complexes. The results are confirmed by means of direct numerical simulations of the time-dependent NLS equation. Properties of the multi-fluxon solutions of 2SG equation are studied depending on the parameter of the second harmonic. We show that the second harmonic changes properties and increases the complexity of coexisting static fluxons of 2SG equation. Results are discussed within the frame of the long Josephson junction model.Проведено численное исследование комплексов локализованных структур в двух динамических системах, каждая из которых имеет множество физических приложений. Первая система описывается нелинейным уравнением Шредингера с внешней накачкой и диссипаций (NLS), вторая - уравнением двойного синус-Гордона (2SG). Численный анализ в обоих случаях основан на продолжении соответствующих стационарных решений по параметрам и численном решении линеаризованной задачи на собственные значения для анализа устойчивости и бифуркаций. Мультисолитонные комплексы NLS исследуются для случая слабой и нулевой диссипации. Для первой системы продемонстрировано существование устойчивых и неустойчивых мультисолитонных структур в случае малой диссипации. Численные результаты, полученные на основе вышеизложенного подхода, подтверждаются прямым численным решением исходного уравнения в частных производных. Для второй системы свойства мультифлюксонных решений 2SG исследованы в зависимости от параметра второй гармоники. Показано, что учет второй гармоники приводит к изменению свойств известных решений и появлению новых сосуществующих флюксонных состояний. Результаты обсуждаются применительно к модели длинных джозефсоновских контактов.solitonfluxonNewtonian iterationnumerical continuationstabilityсолитоныфлюксоныньютоновские итерациичисленное продолжениеустойчивость1.Земляная Е.В., Барашенков И В. Численное исследование многосолитонных комплексов в нелинейном уравнении Шрёдингера с диссипацией и накачкой // Матем. моделирование. - 2004. - Т. 16, № 10. - С. 3-14.2.Numerical modeling of long Josephson junctions in the frame of double sine-Gordon equation / P.K. Atanasova, T.L. Boyadjiev, Y.M. Shukrinov, E.V. Zemlyanaya // Mathematical Models and Computer Simulations.-2011.- Vol. 3, No 3. - Pp. 389-398.3.Atanasova P.K., Zemlyanaya E.V., Shukrinov Y.M. Numerical study of fluxon solutions of sine-Gordon equation under the influence of the boundary conditions // Lecture Notes in Computer Sciences. - 2012. - Vol. 7125. - Pp. 201-206.4.Barashenkov I.V., Smirnov Y. Existence and stability chart for the ac-driven, damped nonlinear Schr¨odinger solitons // Physical Review E. - 1996. - Vol. 54. - Pp. 5707-5725.5.Barashenkov I.V., Zemlyanaya E.V. Travelling solitons in the externally driven nonlinear Schr¨odinger equation // Journal of Physics A: Math. Theor. - 2011. - Vol. 44. - P. 465211.6.Zemlyanaya E.V., Alexeeva N.V. Travelling solitons in the externally driven nonlinear Schr¨odinger equation // Lecture Notes in Compure sciences. - 2013. - Vol. 8236. - Pp. 537-554.7.Barashenkov I.V., Zemlyanaya E.V. Travelling solitons in the damped driven nonlinear Schr¨odinger equation // SIAM Journal of Applied Mathematics. - 2004. - Vol. 64, No 3. - Pp. 800-818.8.Гальперн Ю.С., Филиппов А.Т. Связанные состояния солитонов в неоднородных джозефсоновских контактах // ЖЭТФ. - 1984. - Т. 86, № 4. - С. 1527-1543.9.Influence of Josephson current second harmonic on stability of magnetic flux in long junctions / P.K. Atanasova, T.L. Boyadjiev, Y.M. Shukrinov et al. // Journal of Physics: Conf. Ser. - 2010. - Vol. 248. - P. 012044.10.Atanasova P.K., Zemlyanaya E.V., Shukrinov Y.M. Interconnection between static regimes in the LJJs described by the double sine-Gordon equation // Journal of Physics: Conf. Ser. - 2012. - Vol. 393. - P. 012023.11.Atanasova P.K., Zemlyanaya E.V. Bifurcations in long Josephson junctions with second harmonic in the current-phase relation: Numerical study // Lecture Notes in Computer Sciences. - 2013. - Vol. 8236. - Pp. 189-196.12.Josephson junctions with second harmonic in the current-phase relation: Properties of junctions / E. Goldobin, D. Koelle, R. Kleiner, A. Buzdin // Physical Review B. - 2007. - Vol. 76. - P. 224-523.