Discrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational ScienceDiscrete and Continuous Models and Applied Computational Science2658-46702658-7149Peoples' Friendship University of Russia named after Patrice Lumumba (RUDN University)8351ArticlesСтатьиResearch ArticleThe Simplest Geometrization of Maxwell’s EquationsПростейшая геометризация уравнений МаксвеллаKulyabovD SКулябовДмитрий СергеевичTelecommunication Systems DepartmentКафедра систем телекоммуникацийdharma@sci.pfu.edu.ruKorolkovaA VКорольковаАнна ВладиславовнаTelecommunication Systems DepartmentКафедра систем телекоммуникацийakorolkova@sci.pfu.edu.ruSevastyanovL AСевастьяновЛеонид АнтоновичTelecommunication Systems DepartmentКафедра систем телекоммуникацийleonid.sevast@gmail.comPeoples’ Friendship University of RussiaРоссийский университет дружбы народов150220142NO2 (2014)№2 (2014)11512508092016Copyright ©; 2014, Кулябов Д.С., Королькова А.В., Севастьянов Л.А.2014Кулябов Д.С., Королькова А.В., Севастьянов Л.А.http://creativecommons.org/licenses/by/4.0https://journals.rudn.ru/miph/article/view/8351For research in the field of transformation optics and for the calculation of optically inhomogeneous lenses the method of geometrization of the Maxwell equations seems to be perspective. The basic idea is to transform the coefficients of constitutive equations, namely the dielectric permittivity and magnetic permeability into the effective geometry of space-time (and the vacuum Maxwell equations). This allows us to solve the direct and inverse problems, that is, to find the permittivity and magnetic permeability for a given effective geometry (paths of rays), as well as finding the effective geometry on the base of dielectric permittivity and magnetic permeability. The most popular naive geometrization was proposed by J. Plebanski. Under certain limitations it is quite good for solving relevant problems. It should be noted that in his paper only the resulting formulas and exclusively for Cartesian coordinate systems are given. In our work we conducted a detailed derivation of formulas for the naive geometrization of Maxwell’s equations, and these formulas are written for an arbitrary curvilinear coordinate system. This work is a step toward building a complete covariant geometrization of the macroscopic Maxwell’s equations.Для проведения разработок в области трансформационной оптики и для расчёта линз перспективным представляется метод геометризации уравнений Максвелла. Основная идея заключается в переводе материальных уравнений Максвелла, а именно диэлектрической и магнитной проницаемости, в эффективную геометрию пространства-времени (и вакуумные уравнения Максвелла). Это позволит решать прямую и обратную задачи, то есть находить диэлектрическую и магнитную проницаемость по заданной эффективной геометрии (по траекториям лучей), а также находить эффективную геометрию по диэлектрической и магнитной проницаемости. Наиболее популярная наивная геометризация была предложена Плебанским. При определённых ограничениях она достаточно хорошо решает задачи в своей области. Следует отметить, что в оригинальной статье приводятся лишь результирующие формулы и исключительно для декартовых систем координат. В работе авторов проводится подробный вывод формул для наивной геометризации уравнений Максвелла, кроме того, формулы выписываются для произвольной криволинейной системы координат. Данная работа рассматривается как этап для построения полной ковариантной геометризации макроскопических уравнений Максвелла.Maxwell’s equationsconstitutive equationsMaxwell’s equations geometrizationRiemann geometrycurvilinear coordinatesPlebanski’s geometrizationуравнения Максвелламатериальные уравнения Максвеллагеометризация уравнений Максвеллариманова геометриякриволинейные координатыгеометризация Плебанского1.Тамм И. Е. Электродинамика анизотропной среды в специальной теории относительности // Журнал Русского физико-химического общества. Часть физическая. - 1924. - Т. 56, № 2-3. - С. 248-262.2.Тамм И. Е. Кристаллооптика теории относительности в связи с геометрией биквадратичной формы // Журнал Русского физико-химического общества. Часть физическая. - 1925. - Т. 57, № 3-4. - С. 209-240.3.Tamm I. E., Mandelstam L. I. Elektrodynamik der anisotropen Medien in der speziellen Relativitatstheorie // Mathematische Annalen. - 1925. - Bd. 95, No. 1. - Ss. 154-160.4.Plebanski J. Electromagnetic waves in gravitational fields // Physical Review. - 1960. - Vol. 118, No 5. - Pp. 1396-1408. - http://prola.aps.org/abstract/ PR/v118/i5/p1396_1.5.Felice F. On the gravitational field acting as an optical medium // General Relativity and Gravitation. - 1971. - Vol. 2, No 4. - Pp. 347-357. - ISSN 00017701. - http://link.springer.com/10.1007/BF00758153.6.Leonhardt U., Philbin T. G., Haugh N. General Relativity in Electrical Engineering. - 2008. - Pp. 1-19.7.Leonhardt U., Philbin T. G. Transformation Optics and the Geometry of Light // Progress in Optics. - 2009. - Vol. 53. - Pp. 69-152. - http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0079663808002023.8.Thompson R. T., Cummer S. A., Frauendiener J. A Completely Covariant Approach to Transformation Optics // Journal of Optics. - 2011. - Vol. 13, No 2. - P. 024008. - ISSN 2040-8978.9.Кулябов Д. С., Немчанинова Н. А. Уравнения Максвелла в криволинейных координатах // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». - 2011. - № 2. - С. 172-179.10.Kulyabov D. S., Korolkova A. V., Korolkov V. I. Maxwell’s Equations in Arbitrary Coordinate System // Bulletin of Peoples’ Friendship University of Russia. Series “Mathematics. Information Sciences. Physics”. - 2012. - No 1. - Pp. 96-106. - http://arxiv.org/abs/1211.6590.11.Пенроуз Р., Риндлер В. Спиноры и пространство-время. Два-спинорное исчисление и релятивистские поля. - М.: Мир, 1987. - Т. 1, 528 с.12.Сивухин Д. В. О Международной системе физических величин // Успехи физических наук. - 1979. - Т. 129, № 10. - С. 335-338. - ISSN 0042-1294. - http://ufn.ru/ru/articles/1979/10/h/.13.Korol’kova A. V., Kulyabov D. S., Sevast’yanov L. A. Tensor Computations in Computer Algebra Systems // Programming and Computer Software. - 2013. - Vol. 39, No 3. - Pp. 135-142. - ISSN 0361-7688. - http://link.springer.com/10.1134/S0361768813030031.14.Kulyabov D. S. Geometrization of Electromagnetic Waves // Mathematical Modeling and Computational Physics. - Dubna: JINR, 2013. - P. 120. - http://mmcp2013.jinr.ru.15.Кулябов Д. С., Королькова А. В. Уравнения Максвелла в произвольной системе координат // Вестник Тверского государственного университета. Серия: Прикладная математика. - 2013. - № 1 (28). - С. 29-44.16.Minkowski H. Die Grundlagen f¨ur die electromagnetischen Vorg¨ange in bewegten K¨orpern // Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu G¨ottingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. - 1908. - No. 68. - Ss. 53-111.17.Стрэттон Д. А. Теория электромагнетизма. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1948.18.Зоммерфельд А. Электродинамика. - М.: Издательство иностранной литературы, 1958.